Допустим, у вас есть функция y = f (x), где y является функцией x. Неважно, какие именно отношения. Это может быть y = x ^ 2, например, простая и знакомая парабола, проходящая через начало координат. Это может быть y = x ^ 2 + 1, парабола идентичной формы и вершина на одну единицу выше начала координат. Это может быть более сложная функция, например y = x ^ 3. Независимо от функции, прямая линия, проходящая через любые две точки кривой, является секущей линией.
Возьмите значения x и y для любых двух точек, которые, как вы знаете, находятся на кривой. Точки задаются как (значение x, значение y), поэтому точка (0, 1) означает точку на декартовой плоскости, где x = 0 и y = 1. Кривая y = x ^ 2 + 1 содержит точку (0, 1). Он также содержит точку (2, 5). Вы можете подтвердить это, подставив каждую пару значений для x и y в уравнение и убедившись, что уравнение уравновешивается оба раза: 1 = 0 + 1, 5 = 2 ^ 2 + 1. И (0, 1), и (2, 5) являются точками кривой y = x ^ 2 +1. Прямая линия между ними является секущей, и оба (0, 1) и (2, 5) также будут частью этой прямой.
Определите уравнение для прямой линии, проходящей через обе эти точки, выбрав значения, которые удовлетворяют уравнению y = mx + b - общему уравнению для любой прямой - для обеих точек. Вы уже знаете, что y = 1, когда x равен 0. Это означает 1 = 0 + b. Значит, b должно быть равно 1.
Подставьте значения x и y во второй точке в уравнение y = mx + b. Вы знаете, что y = 5, когда x = 2, и вы знаете, что b = 1. Это дает вам 5 = m (2) + 1. Таким образом, m должно быть равно 2. Теперь вы знаете и m, и b. Секущая между (0, 1) и (2, 5) равна y = 2x + 1.
Выберите другую пару точек на кривой, и вы сможете определить новую секущую линию. На той же кривой y = x ^ 2 + 1 вы можете взять точку (0, 1), как и раньше, но на этот раз выберите (1, 2) в качестве второй точки. Поместите (1, 2) в уравнение для кривой, и вы получите 2 = 1 ^ 2 + 1, что, очевидно, правильно, поэтому вы знаете, что (1, 2) также находится на той же кривой. Секущая между этими двумя точками: y = mx + b: подставив 0 и 1 вместо x и y, вы получите: 1 = m (0) + b, так что b по-прежнему равно единице. Вставка значения для новой точки (1, 2) дает вам 2 = mx + 1, что уравновешивается, если m равно 1. Уравнение для секущей линии между (0, 1) и (1, 2): y = x + 1.
Рекомендации
- Калифорнийский университет в Санта-Барбаре: секущие линии, касательные и предельное определение производной.
- Wolfram Math World: Секущая линия
Советы
- Обратите внимание, что секущая линия изменяется, когда вы выбираете вторую точку ближе к первой. Вы всегда можете выбрать точку на кривой ближе, чем раньше, и получить новую секущую линию. По мере того, как ваша вторая точка приближается к вашей первой, секущая линия между ними приближается к касательной к кривой в первой точке.
об авторе
Эндрю Бреслин профессионально пишет с 1994 года. Его статьи и статьи публиковались в журналах «South Florida Sun Sentinel», «St Paul Pioneer Press», «Detroit Free Press», «Charlotte Observer», «Good Medicine» и других. Он изучал молекулярную биологию в Вестчестерском университете и часто пишет о естественных науках и математике.
Фото Кредиты
Jupiterimages / Photos.com / Getty Images
