Алгебра знаменует собой первый настоящий концептуальный скачок, который студенты должны совершить в мире математики, научившись манипулировать переменными и работать с уравнениями. Когда вы начнете работать с уравнениями, вы столкнетесь с некоторыми общими проблемами, включая показатели, дроби и множественные переменные. Все это можно освоить с помощью нескольких основных стратегий.
Основная стратегия для алгебраических уравнений
Основная стратегия решения любого алгебраического уравнения - сначала изолировать переменный член с одной стороны уравнения, а затем примените обратные операции по мере необходимости, чтобы удалить любые коэффициенты или экспоненты. Обратная операция «отменяет» другую операцию; например, деление «отменяет» умножение коэффициента, а квадратный корень «отменяет» операцию возведения в квадрат экспоненты второй степени.
Обратите внимание, что если вы применяете операцию к одной стороне уравнения, вы должны применить ту же операцию к другой стороне уравнения. Поддерживая это правило, вы можете изменить способ записи членов уравнения, не меняя их отношения друг к другу.
Решение уравнений с показателями
Типы уравнений с показателями, с которыми вы столкнетесь во время путешествия по алгебре, могут легко заполнить целую книгу. А пока сосредоточьтесь на освоении самых простых уравнений экспоненты, где у вас есть один член переменной с показателем. Например:
у ^ 2 + 3 = 19
Вычтите 3 из обеих частей уравнения, оставив переменный член изолированным с одной стороны:
у ^ 2 = 16
Уберите показатель степени с переменной, применив радикал того же индекса. Помните, вы должны сделать это с обеими сторонами уравнения. В данном случае это означает извлечение квадратного корня из обеих частей:
\ sqrt {y ^ 2} = \ sqrt {16}
Что упрощает:
у = 4
Решение уравнений с дробями
Что, если в вашем уравнении есть дробь? Рассмотрим на примере
\ frac {3} {4} (x + 7) = 6
Если распределить дробь 3/4 поперёк (Икс+ 7), все может быстро запутаться. Вот гораздо более простая стратегия.
Умножьте обе части уравнения на знаменатель дроби. В данном случае это означает умножение обеих частей дроби на 4:
\ frac {3} {4} (x + 7) × 4 = 6 × 4
Упростите обе части уравнения. Это помогает:
3 (х + 7) = 24
Вы можете снова упростить, в результате чего:
3х + 21 = 24
Вычтем 21 с обеих сторон, изолировав переменный член с одной стороны уравнения:
3x = 3
Наконец, разделите обе части уравнения на 3, чтобы завершить решение относительноИкс:
х = 1
Решение одного уравнения с двумя переменными
Если у тебя естьодинуравнение с двумя переменными, вас, вероятно, попросят решить только для одной из этих переменных. В этом случае вы следуете той же процедуре, что и для любого алгебраического уравнения с одной переменной. Рассмотрим пример
5х + 4 = 2г
если вас попросят решить дляИкс.
Вычтем по 3 из каждой части уравнения, оставивИкссам по себе с одной стороны от знака равенства:
5x = 2y - 4
Разделите обе части уравнения на 5, чтобы удалить коэффициент изИкссрок:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Если вам не предоставили никакой другой информации, это все, что вы можете сделать для расчетов.
Решение двух уравнений с двумя переменными
Если вам дана система (или группа)двауравнения, в которых есть две одинаковые переменные, это обычно означает, что уравнения связаны - и вы можете использовать метод, называемый подстановкой, чтобы найти значения для обеих переменных. Рассмотрим уравнение из последнего примера плюс второе связанное уравнение, в котором используются те же переменные:
5х + 4 = 2у \\ х + 3у = 23
Выберите одно уравнение и решите это уравнение относительно одной из переменных. В этом случае используйте то, что вы уже знаете о первом уравнении из предыдущего примера, которое вы уже решили дляИкс:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Подставьте результат из шага 1 в другое уравнение. Другими словами, подставьте значение (2у- 4) / 5 для любых экземпляровИксв другом уравнении. Это дает вам уравнение только с одной переменной:
\ frac {2y - 4} {5} + 3y = 23
Упростите уравнение из шага 2 и решите оставшуюся переменную, которая в данном случае равнау.
Начните с умножения обеих сторон на 5:
5 × \ bigg (\ frac {2y - 4} {5} + 3y \ bigg) = 5 × 23
Это упрощает:
2лет - 4 + 15лет = 115
После объединения похожих терминов это еще больше упрощается до:
17лет = 119
И, наконец, разделив обе части на 17, вы получите:
у = 7
Подставьте значение из шага 3 в уравнение из шага 1. Это дает вам:
x = \ frac {(2 × 7) - 4} {5}
Что упрощает выявление ценностиИкс:
х = 2
Итак, решение этой системы уравнений:Икс= 2 иу = 7.