В математике иногда возникает необходимость доказать, являются ли функции зависимыми или независимыми друг от друга в линейном смысле. Если у вас есть две функции, которые являются линейно зависимыми, построение графиков уравнений этих функций приведет к точкам, которые перекрываются. Функции с независимыми уравнениями не перекрываются при отображении на графике. Один из методов определения того, являются ли функции зависимыми или независимыми, заключается в вычислении вронскиана для функций.
Что такое вронскианец?
Вронскиан двух или более функций - это так называемый детерминант, который представляет собой специальную функцию, используемую для сравнения математических объектов и доказательства определенных фактов о них. В случае вронскиана определитель используется для доказательства зависимости или независимости двух или более линейных функций.
Матрица Вронскиана
Чтобы вычислить Вронскиан для линейных функций, функции должны быть решены для одного и того же значения в матрице, которая содержит как функции, так и их производные. Примером этого является
W (f, g) (t) = \ begin {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
что дает вронскиан для двух функций (жа такжеграмм), которые решаются для одного значения больше нуля (т); вы можете увидеть две функцииж(т) а такжеграмм(т) в верхней строке матрицы, а производныеж'(т) а такжеграмм'(т) в нижнем ряду. Обратите внимание, что вронскиан можно использовать и для больших сетов. Если, например, вы тестируете три функции с помощью вронскиана, вы можете заполнить матрицу функциями и производными отж(т), грамм(т) а такжечас(т).
Решение вронскиана
После того, как у вас есть функции, расположенные в матрице, умножьте каждую функцию на производную другой функции и вычтите первое значение из второго. В приведенном выше примере это дает вам
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Если окончательный ответ равен нулю, это показывает, что две функции зависимы. Если ответ отличен от нуля, функции независимы.
Пример Вронскиана
Чтобы лучше понять, как это работает, предположим, что
f (t) = x + 3 \ text {и} g (t) = x - 2
Используя значениет= 1, вы можете решить функции как
f (1) = 4 \ text {и} g (1) = -1
Поскольку это базовые линейные функции с наклоном 1, производные обеихж(т) а такжеграмм(т) равняется 1. Перекрестное умножение ваших ценностей дает
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
что дает окончательный результат 5. Хотя обе линейные функции имеют одинаковый наклон, они независимы, потому что их точки не перекрываются. Еслиж(т) дала результат -1 вместо 4, то вронскиан дал бы результат, равный нулю, чтобы указать зависимость.