Уравнения верны, если обе стороны одинаковы. Свойства уравнений иллюстрируют различные концепции, которые сохраняют обе части уравнения одинаковыми, независимо от того, складываете ли вы, вычитаете, умножаете или делите. В алгебре буквы обозначают числа, которых вы не знаете, а свойства записываются буквами, чтобы доказать, что какие бы числа вы ни вставили в них, они всегда будут истинными. Вы можете думать об этих свойствах как о «правилах алгебры», которые можно использовать для решения математических задач.
Ассоциативные и коммутативные свойства
Ассоциативные и коммутативные свойства в обоих есть формулы для сложения и умножения. Вкоммутативное свойство сложенияговорит, что если вы сложите два числа, не имеет значения, в каком порядке вы их разместите. Например, 4 + 5 - это то же самое, что 5 + 4. Формула:
а + Ь = Ь + а
Любые номера, которые вы подключаетеаа такжебпо-прежнему сделает свойство истинным.
Вкоммутативность умноженияформула читает
а × Ь = Ь × а
Это означает, что при умножении двух чисел не имеет значения, какое число вы вводите первым. Вы все равно получите 10, если умножите 2 × 5 или 5 × 2.
Вассоциативное свойство сложенияговорит, что если вы группируете два числа и складываете их, а затем добавляете третье число, не имеет значения, какую группировку вы используете. В форме формулы это выглядит как
(a + b) + c = a + (b + c)
Например
\ text {if} (2 + 3) + 4 = 9 \ text {then} 2 + (3 + 4) = 9
Точно так же, если вы умножаете два числа, а затем умножаете полученный результат на третье число, не имеет значения, какие два числа вы умножаете в первую очередь. В форме формулыассоциативное свойство умножениявыглядит как
(a × b) c = a (b × c)
Например, (2 × 3) 4 упрощается до 6 × 4, что равно 24. Если вы сгруппируете 2 (3 × 4), у вас будет 2 × 12, и это также даст вам 24.
Математические свойства: переходные и распределительные
Впереходное свойствоговорит, что еслиа = ба такжеб = c, тогдаа = c. Это свойство часто используется при алгебраической подстановке. Например,
\ text {if} 4x - 2 = y \ text {и} y = 3x + 4 \ text {, затем} 4x - 2 = 3x + 4
Если вы знаете, что эти два значения равны друг другу, вы можете решить дляИкс. Как только вы узнаетеИкс, вы можете решить дляуесли необходимо.
Враспределительное свойствопозволяет избавиться от скобок, если за их пределами стоит термин, например 2 (Икс− 4). Круглые скобки в математике означают умножение, а раздать что-то означает передать это. Итак, чтобы использовать свойство распределения для исключения круглых скобок, умножьте член вне их накаждыйсрок внутри них. Итак, вы бы умножили 2 иИксполучить 2Икс, и вы умножили бы 2 на −4, чтобы получить −8. В упрощенном виде это выглядит так:
2 (х - 4) = 2x - 8
Формула распределительного свойства:
а (Ь + с) = ab + ac
Вы также можете использовать свойство distributive, чтобы извлечь из выражения общий множитель. Эта формула
ab + ac = а (Ь + с)
Например, в выражении 3Икс+ 9, оба члена делятся на 3. Вытяните множитель за пределы скобок, а остальное оставьте внутри: 3 (Икс + 3).
Свойства алгебры отрицательных чисел
Ваддитивное обратное свойствоговорит, что если вы добавите одно число с его обратной или отрицательной версией, вы получите ноль. Например, −5 + 5 = 0. В реальном примере, если вы должны кому-то 5 долларов, а затем получите 5 долларов, у вас все равно не будет денег, потому что вы должны отдать эти 5 долларов для выплаты долга. Формула
а + (−a) = 0 = (−a) + a
Вмультипликативное обратное свойствоговорит, что если вы умножите число на дробь с единицей в числителе и этим числом в знаменателе, вы получите единицу:
а × \ гидроразрыва {1} {а} = 1
Если умножить 2 на 1/2, получится 2/2. Любое число над собой всегда равно 1.
Свойства отрицаниядиктуют умножение отрицательных чисел. Если вы умножите отрицательное число на положительное, ваш ответ будет отрицательным:
(-a) (b) = -ab \ text {и} - (ab) = -ab
Если вы умножите два отрицательных числа, ваш ответ будет положительным:
- (- a) = a \ text {and} (-a) (- b) = ab
Если у вас есть негатив вне скобок, этот негатив присоединяется к невидимой единице. Этот −1 распределяется по каждому члену в круглых скобках. Формула
- (a + b) = (-a) + (-b) = - a - b
Например
- (х - 3) = -x + 3
потому что умножение −1 на −3 даст вам 3.
Свойства нуля
Втождественное свойство сложениязаявляет, что если вы добавите любое число и ноль, вы получите исходное число:
а + 0 = а
Например,
4 + 0 = 4
Вмультипликативное свойство нуляутверждает, что когда вы умножаете любое число на ноль, вы всегда получаете ноль:
а × 0 = 0
Например
4 × 0 = 0
С помощьюсвойство нулевого продукта,вы можете точно знать, что если произведение двух чисел равно нулю, то одно из кратных равно нулю. Формула гласит, что
\ text {if} ab = 0 \ text {, then} a = 0 \ text {или} b = 0
Свойства равенств
Свойства равенств гласят, что то, что вы делаете с одной стороной уравнения, вы должны делать с другой. Всложение свойство равенствагласит, что если у вас есть число с одной стороны, вы должны добавить его к другой. Например,
\ text {if} 5 + 2 = 3 + 4 \ text {, затем} 5 + 2 + 3 = 3 + 4 + 3
Всвойство вычитания равенствагласит, что если вы вычитаете число из одной стороны, вы должны вычесть его из другой. Например,
\ text {if} x + 2 = 2x - 3 \ text {, then} x + 2 - 1 = 2x - 3 - 1
Это даст вам
х + 1 = 2х - 4
а такжеИксбудет равно 5 в обоих уравнениях.
Всвойство умножения равенствагласит, что если вы умножаете число в одну сторону, вы должны умножить его на другую. Это свойство позволяет решать уравнения деления. Например, если
\ frac {x} {4} = 2
умножьте обе части на 4, чтобы получитьИкс = 8.
Враздел собственности на равенствопозволяет решать уравнения умножения, потому что то, что вы делите с одной стороны, вы должны делить с другой. Например, разделить
2x = 8
на 2 с обеих сторон, давая
х = 4