Ряд Тейлора - это численный метод представления заданной функции. Этот метод находит применение во многих областях техники. В некоторых случаях, таких как теплопередача, дифференциальный анализ приводит к уравнению, которое соответствует форме ряда Тейлора. Ряд Тейлора также может представлять собой интеграл, если интеграл от этой функции не существует аналитически. Эти представления не являются точными значениями, но вычисление большего количества членов в ряду сделает приближение более точным.
Выберите центр для серии Тейлора. Это число является произвольным, но рекомендуется выбирать центр, где есть симметрия функции или где значение для центра упрощает математику задачи. Если вы вычисляете представление ряда Тейлора для f (x) = sin (x), хорошим центром для использования будет a = 0.
Определите количество терминов, которое вы хотите вычислить. Чем больше терминов вы используете, тем точнее будет ваше представление, но поскольку ряд Тейлора - это бесконечный ряд, невозможно включить все возможные термины. В примере sin (x) будет использоваться шесть терминов.
Рассчитайте производные, которые вам понадобятся для ряда. В этом примере вы должны вычислить все производные до шестой производной. Поскольку ряд Тейлора начинается с «n = 0», вы должны включить «0-ую» производную, которая является просто исходной функцией. 0-я производная = sin (x) 1-я = cos (x) 2-я = -sin (x) 3-я = -cos (x) 4-я = sin (x) 5-я = cos (x) 6-я = -sin (x)
Рассчитайте значение для каждой производной в выбранном вами центре. Эти значения будут числителями для первых шести членов ряда Тейлора. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Используйте вычисления производной и центр, чтобы определить члены ряда Тейлора. 1 семестр; п = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2-й член; п = 1; (1/1!) (Х - 0) ^ 1 = х / 1! 3-й срок; n = 2; (0/2!) (Х - 0) ^ 2 = 0/2! 4 семестр; n = 3; (-1/3!) (Х - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5 семестр; n = 4; (0/4!) (Х - 0) ^ 4 = 0/4! 6 семестр; n = 5; (1/5!) (Х - 0) ^ 5 = х ^ 5/5! Ряд Тейлора для sin (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (х ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Отбросьте нулевые члены в ряду и упростите выражение алгебраически, чтобы определить упрощенное представление функции. Это будет совершенно другая серия, поэтому значения для «n», использованные ранее, больше не применяются. грех (х) знак равно 0 + х / 1! + 0 - (х ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! +... грех (х) = х / 1! - (х ^ 3) / 3! + (х ^ 5) / 5! -... Поскольку знаки чередуются между положительными и отрицательными, первый компонент упрощенного уравнения должен быть (-1) ^ n, поскольку в ряду нет четных чисел. Член (-1) ^ n приводит к отрицательному знаку, когда n нечетно, и положительному знаку, когда n четно. Представление нечетных чисел в виде серии (2n + 1). Когда n = 0, этот член равен 1; при n = 1 этот член равен 3 и т. д. до бесконечности. В этом примере используйте это представление для показателей x и факториалов в знаменателе.
Используйте представление функции вместо исходной функции. Для более сложных и сложных уравнений ряд Тейлора может сделать неразрешимое уравнение разрешимым или, по крайней мере, дать разумное числовое решение.