Радикал в основном представляет собой дробную экспоненту и обозначается знаком радикала (√). ВыражениеИкс2 означает приумножатьИкссам по себе (Икс × Икс), но когда вы видите выражение √Икс, вы ищете число, которое при умножении само на себя равноИкс. По аналогии, 3√Иксозначает число, которое при умножении на себядважды,равноИкс, и так далее. Точно так же, как вы можете умножать числа с одинаковой степенью, вы можете делать то же самое с радикалами, если надстрочные индексы перед радикальными знаками совпадают. Например, вы можете умножить (√Икс × √Икс), чтобы получить √ (Икс2), что просто равноИкс, а также (3√Икс × 3√Икс) получить 3√(Икс2). Однако выражение (√Икс × 3√Икс) не может быть далее упрощен.
Совет №1: помните о «Правиле, возведенном в силу».
При умножении экспонент верно следующее:
(а) ^ х × (б) ^ х = (а × б) ^ х
То же правило действует и при умножении радикалов. Чтобы понять, почему, помните, что вы можете выразить радикал в виде дробной степени. Например,
\ sqrt {a} = a ^ {1/2}
или, в общем,
\ sqrt [x] {a} = a ^ {1 / x}
Умножая два числа на дробные показатели, вы можете рассматривать их так же, как числа с целыми показателями, при условии, что показатели одинаковы. В общем:
\ sqrt [x] {a} × \ sqrt [x] {b} = \ sqrt [x] {a × b}
Пример:Умножить √25 × √400
\ sqrt {25} × \ sqrt {400} = \ sqrt {25 × 400} = \ sqrt {10 000}
Совет № 2: упростите радикалы, прежде чем их умножать
В приведенном выше примере вы можете быстро увидеть, что
\ sqrt {25} = \ sqrt {5 ^ 2} = 5
и это
\ sqrt {400} = \ sqrt {20 ^ 2} = 20
и что выражение упрощается до 100. Тот же ответ вы получите, если посмотрите квадратный корень из 10 000.
Во многих случаях, например, в приведенном выше примере, проще упростить числа под радикальными знаками, прежде чем выполнять умножение. Если радикал является квадратным корнем, вы можете удалить попарно повторяющиеся числа и переменные из-под корня. Если вы умножаете кубические корни, вы можете удалить числа и переменные, повторяющиеся с точностью до трех. Чтобы удалить число из знака корня четвертой степени, число необходимо повторить четыре раза и так далее.
Примеры
1.Умножить√18 × √16
Разложите числа под радикальными знаками на множители и поставьте любые, которые встречаются дважды, вне радикала.
\ sqrt {18} = \ sqrt {9 × 2} = \ sqrt {3 × 3} × 2 = 3 \ sqrt {2} \\ \ sqrt {16} = \ sqrt {4 × 4} = 4 \\ \, \\ \ подразумевает \ sqrt {18} × \ sqrt {16} = 3 \ sqrt {2} × 4 = 12 \ sqrt {2}
2. Умножить
\ sqrt [3] {32x ^ 2 y ^ 4} × \ sqrt [3] {50x ^ 3y}
Чтобы упростить кубические корни, ищите факторы внутри радикальных знаков, которые встречаются в единицах по три:
\ sqrt [3] {32x ^ 2y ^ 4} = \ sqrt [3] {(8 × 4) x ^ 2y ^ 4} = \ sqrt [3] {[(2 × 2 × 2) × 4] x ^ 2 (y × y × y) y} = 2y \ sqrt [3] {4x ^ 2y} \\ \, \\ \ sqrt [3] {50 x ^ 3y} = \ sqrt [3] {50 (x × x × x) y} = x \ sqrt [3] {50y}
Умножение становится
2y \ sqrt [3] {4x ^ 2y} × x \ sqrt [3] {50y}
Умножая одинаковые термины и применяя правило, возведенное в степень, вы получите:
2xy × \ sqrt [3] {200x ^ 2y ^ 2}