Если вам известны две точки, которые попадают на определенную экспоненциальную кривую, вы можете определить кривую, решив общую экспоненциальную функцию с использованием этих точек. На практике это означает замену точек y и x в уравнение y = abИкс. Процедура упрощается, если значение x для одной из точек равно 0, что означает, что точка находится на оси y. Если ни одна из точек не имеет нулевого значения x, процесс решения относительно x и y немного сложнее.
Почему важны экспоненциальные функции
Многие важные системы следуют экспоненциальным моделям роста и распада. Например, количество бактерий в колонии обычно увеличивается экспоненциально, а окружающая радиация в атмосфере после ядерного события обычно экспоненциально уменьшается. Собирая данные и строя кривую, ученые могут лучше делать прогнозы.
От пары точек к графику
Любую точку на двумерном графике можно представить двумя числами, которые обычно записываются в форма (x, y), где x определяет горизонтальное расстояние от начала координат, а y представляет вертикальное расстояние. Например, точка (2, 3) находится на две единицы правее оси y и на три единицы выше оси x. С другой стороны, точка (-2, -3) находится на две единицы левее оси y. и на три единицы ниже оси абсцисс.
Если у вас есть две точки, (x1, y1) и (x2, y2), вы можете определить экспоненциальную функцию, которая проходит через эти точки, подставив их в уравнение y = abИкс и решение для a и b. В общем, вам нужно решить эту пару уравнений:
у1 = abx1 и у2 = abх2, .
В этой форме математика выглядит немного сложной, но после нескольких примеров она выглядит менее сложной.
Одна точка на оси X
Если одно из значений x - скажем, x1 - равно 0, операция становится очень простой. Например, решение уравнения для точек (0, 2) и (2, 4) дает:
2 = ab0 и 4 = ab2. Поскольку мы знаем, что b0 = 1, первое уравнение принимает вид 2 = a. Подставляя a во второе уравнение, получаем 4 = 2b2, который мы упрощаем до b2 = 2, или b = квадратный корень из 2, что приблизительно равно 1,41. Тогда определяющая функция у = 2 (1,41)Икс.
Ни одна точка на оси X
Если ни одно из значений x не равно нулю, решение пары уравнений немного сложнее. Генохмат проводит нас через простой пример, чтобы прояснить эту процедуру. В своем примере он выбрал пару точек (2, 3) и (4, 27). Это дает следующую пару уравнений:
27 = ab4
3 = ab2
Если разделить первое уравнение на второе, получится
9 = b2
так что b = 3. Возможно, что b также будет равно -3, но в этом случае предположим, что оно положительное.
Вы можете заменить это значение на b в любом уравнении, чтобы получить a. Второе уравнение использовать проще, поэтому:
3 = а (3)2 что может быть упрощено до 3 = a9, a = 3/9 или 1/3.
Уравнение, проходящее через эти точки, можно записать как у = 1/3 (3)Икс.
Пример из реального мира
С 1910 года рост населения Земли был экспоненциальным, и, построив кривую роста, ученые могут лучше прогнозировать и планировать будущее. В 1910 году население мира составляло 1,75 миллиарда, а в 2010 году - 6,87 миллиарда. Если взять 1910 в качестве отправной точки, это дает пару точек (0, 1,75) и (100, 6,87). Поскольку значение x первой точки равно нулю, мы можем легко найти a.
1,75 = ab0 или а = 1,75. Подставляя это значение вместе со значениями второй точки в общее экспоненциальное уравнение, получаем 6,87 = 1,75b.100, что дает значение b как корень сотой из 6,87 / 1,75 или 3,93. Таким образом, уравнение становится y = 1,75 (корень сотой из 3,93)Икс. Хотя для этого требуется нечто большее, чем логарифмическая линейка, ученые могут использовать это уравнение для прогнозирования численности населения в будущем, чтобы помочь нынешним политикам разработать соответствующую политику.