Решение неравенств абсолютных значений во многом похоже на решение уравнений абсолютных значений, но есть пара дополнительных деталей, о которых следует помнить. Это помогает уже чувствовать себя комфортно, решая уравнения абсолютных значений, но это нормально, если вы тоже изучаете их вместе!
Определение абсолютного неравенства
Прежде всего,неравенство по абсолютной величиненеравенство, которое включает выражение абсолютного значения. Например,
| 5 + х | - 10> 6
является неравенством абсолютного значения, потому что оно имеет знак неравенства> и выражение абсолютного значения | 5+Икс |.
Как разрешить абсолютное неравенство
Вшаги к решению абсолютного неравенстваочень похожи на шаги для решения уравнения абсолютного значения:
Шаг 1:Выделите выражение абсолютного значения на одной стороне неравенства.
Шаг 2:Решите положительную «версию» неравенства.
Шаг 3:Решите отрицательную «версию» неравенства, умножив величину с другой стороны неравенства на -1 и перевернув знак неравенства.
Это очень много, чтобы принять во внимание все сразу, поэтому вот пример, который проведет вас через все шаги.
Решите неравенство дляИкс:
| 5 + 5x | - 3> 2
Для этого нужно получить | 5 + 5Икс| сам по себе в левой части неравенства. Все, что вам нужно сделать, это добавить по 3 с каждой стороны:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Теперь есть две «версии» неравенства, которые нам нужно решить: положительная «версия» и отрицательная «версия».
На этом этапе мы предположим, что все так, как кажется: что 5 + 5Икс > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Это простое неравенство; вам просто нужно решитьИкспо-прежнему. Вычтите 5 из обеих сторон, затем разделите обе стороны на 5.
\ begin {align} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(вычтите пять с обеих сторон)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(разделите обе стороны на пять)} \\ & x> 0 \ end {выровнено}
Неплохо! Итак, одно из возможных решений нашего неравенства состоит в том, чтоИкс> 0. Теперь, когда речь идет об абсолютных величинах, пришло время рассмотреть еще одну возможность.
Чтобы понять этот следующий бит, полезно вспомнить, что означает абсолютное значение.Абсолютная величинаизмеряет расстояние числа от нуля. Расстояние всегда положительно, поэтому 9 на девять единиц от нуля, но −9 также на девять единиц от нуля.
Итак | 9 | = 9, но | −9 | = 9 тоже.
Теперь вернемся к проблеме выше. Работа выше показала, что | 5 + 5Икс| > 5; другими словами, абсолютное значение «чего-то» больше пяти. Теперь любое положительное число больше пяти будет дальше от нуля, чем пять. Итак, первым вариантом было «что-то», 5 + 5.Икс, больше 5.
Это:
5 + 5x> 5
Это сценарий, рассмотренный выше на шаге 2.
А теперь подумайте еще немного. Что еще на пять единиц от нуля? Ну отрицательная пятерка есть. И все, что находится дальше по числовой прямой от отрицательной пяти, будет еще дальше от нуля. Таким образом, нашим «чем-то» может быть отрицательное число, которое дальше от нуля, чем отрицательная пятерка. Это означает, что это будет более громкое число, но техническименьше, чемминус пять, потому что он движется в отрицательном направлении на числовой прямой.
Таким образом, наше «что-то» 5 + 5x могло быть меньше −5.
5 + 5x
Самый быстрый способ сделать это алгебраически - это умножить величину с другой стороны неравенства, 5, на отрицательную величину, а затем перевернуть знак неравенства:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Затем решайте как обычно.
\ begin {align} & 5 + 5x
Итак, два возможных решения неравенства:Икс> 0 илиИкс< −2. Проверьте себя, включив несколько возможных решений, чтобы убедиться, что неравенство сохраняется.
Абсолютное неравенство без решения
Есть сценарий, когда было бынет решений для абсолютного неравенства. Поскольку абсолютные значения всегда положительны, они не могут быть меньше или равны отрицательным числам.
Итак |Икс| нет решенияпотому что результат выражения абсолютного значения должен быть положительным.
Обозначение интервалов
Чтобы написать решение нашего основного примера вобозначение интервала, подумайте, как выглядит решение на числовой прямой. Наше решение былоИкс> 0 илиИкс< −2. На числовой прямой это открытая точка в 0 с линией, уходящей в положительную бесконечность, и открытая точка в -2, с линией, уходящей в отрицательную бесконечность. Эти решения направлены друг от друга, а не друг к другу, поэтому берите каждую деталь отдельно.
Для x> 0 на числовой прямой есть открытая точка в нуле, а затем линия, уходящая в бесконечность. В обозначении интервалов открытая точка обозначается круглыми скобками (), а закрытая точка или неравенства с ≥ или ≤ будут использовать скобки, []. Таким образом, дляИкс> 0, пишем (0, ∞).
Другая половина,Икс
«Или» в обозначении интервалов - это знак объединения, ∪.
Таким образом, решение в интервальной записи
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)