Одна из важных операций, которые вы выполняете в исчислении, - это поиск производных. Производная функции также называется скоростью изменения этой функции. Например, если x (t) - это положение автомобиля в любой момент времени t, то производная от x, которая записывается как dx / dt, является скоростью автомобиля. Кроме того, производную можно представить как наклон касательной к графику функции. На теоретическом уровне именно так математики находят производные. На практике математики используют наборы основных правил и справочные таблицы.
Производная как наклон
Наклон линии между двумя точками - это рост или разница значений y, деленная на пробег, или разница значений x. Наклон функции y (x) для определенного значения x определяется как наклон прямой, касательной к функции в точке [x, y (x)]. Чтобы вычислить наклон, вы строите линию между точкой [x, y (x)] и ближайшей точкой [x + h, y (x + h)], где h - очень маленькое число. Для этой строки пробег или изменение значения x равно h, а повышение или изменение значения y равно y (x + h) - y (x). Следовательно, наклон y (x) в точке [x, y (x)] приблизительно равен [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( х + ч) - у (х)] / ч. Чтобы получить точный уклон, вы вычисляете значение наклона по мере того, как h становится все меньше и меньше, до «предела», когда оно стремится к нулю. Вычисленный таким образом наклон является производной y (x), которая записывается как y ’(x) или dy / dx.
Производная степенной функции
Вы можете использовать метод наклона / предела для вычисления производных функций, где y равно x в степени a, или y (x) = x ^ a. Например, если y равно x в кубе, y (x) = x ^ 3, то dy / dx является пределом, когда h стремится к нулю для [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Расширение (x + h) ^ 3 дает [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, которое уменьшается до 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 после того, как вы разделите пользователя h. В пределе, когда h стремится к нулю, все члены, содержащие h, также стремятся к нулю. Итак, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Вы можете сделать это для значений a, отличных от 3, и в целом вы можете показать, что d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Производная от степенного ряда
Многие функции могут быть записаны в виде так называемых степенных рядов, которые представляют собой сумму бесконечного числа членов, где каждый имеет форму C (n) x ^ n, где x - переменная, n - целое число, а C (n) - конкретное число для каждого значения п. Например, степенной ряд для функции синуса: Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., где «...» означает члены, продолжающиеся до бесконечности. Если вам известен степенной ряд для функции, вы можете использовать производную степени x ^ n для вычисления производной функции. Например, производная Sin (x) равна 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., что является степенным рядом для Cos (x).
Производные от таблиц
Производные основных функций, таких как степени, такие как x ^ a, экспоненциальные функции, функции журнала и триггерные функции, находятся с использованием метода наклона / предела, метода степенных рядов или других методов. Эти производные затем перечислены в таблицах. Например, вы можете узнать, что производная Sin (x) равна Cos (x). Когда сложные функции представляют собой комбинации основных функций, вам нужны специальные правила, такие как правило цепочки и правило продукта, которые также приведены в таблицах. Например, вы используете цепное правило, чтобы найти, что производная Sin (x ^ 2) равна 2xCos (x ^ 2). Вы используете правило произведения, чтобы найти, что производная xSin (x) равна xCos (x) + Sin (x). Используя таблицы и простые правила, вы можете найти производную любой функции. Но когда функция чрезвычайно сложна, ученые иногда прибегают к помощи компьютерных программ.