Рациональные выражения кажутся более сложными, чем простые целые числа, но правила их умножения и деления легко понять. Независимо от того, занимаетесь ли вы сложным алгебраическим выражением или имеете дело с простой дробью, правила умножения и деления в основном одинаковы. После того, как вы узнаете, что такое рациональные выражения и как они соотносятся с обыкновенными дробями, вы сможете с уверенностью умножать и делить их.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Умножение и деление рациональных выражений работает так же, как умножение и деление дробей. Чтобы умножить два рациональных выражения, умножьте числители вместе, а затем умножьте знаменатели вместе.
Чтобы разделить одно рациональное выражение на другое, следуйте тем же правилам, что и при делении одной дроби на другую. Сначала переверните дробь в делителе (которую вы делите) вверх ногами, а затем умножьте ее на дробь в делимом (которую вы делите).
Что такое рациональное выражение?
Термин «рациональное выражение» описывает дробь, числитель и знаменатель которой являются полиномами. Многочлен - это выражение вида
2x ^ 2 + 3x + 1
состоит из констант, переменных и показателей (не отрицательных). Следующее выражение:
\ frac {x + 5} {x ^ 2 - 4}
Дает пример рационального выражения. Это в основном имеет форму дроби, только с более сложным числителем и знаменателем. Обратите внимание, что рациональные выражения действительны только тогда, когда знаменатель не равен нулю, поэтому приведенный выше пример действителен только тогда, когдаИкс ≠ 2.
Умножение рациональных выражений
Умножение рациональных выражений происходит по тем же правилам, что и умножение любой дроби. Когда вы умножаете дробь, вы умножаете один числитель на другой и один знаменатель на другой, а когда вы умножаете рациональные выражения, вы умножаете один числитель на другой, а весь знаменатель на другой. знаменатель.
Для дроби вы пишете:
\ begin {align} \ frac {2} {5} × \ frac {4} {7} & = \ frac {2 × 4} {5 × 7} \\ \, \\ & = \ frac {8} { 35} \ end {выровнено}
Для двух рациональных выражений вы используете один и тот же базовый процесс:
\ begin {align} \ frac {x + 5} {x - 4} × \ frac {x} {x + 1} & = \ frac {(x + 5) × x} {(x - 4) × (x + 1)} \\ \, \\ & = \ frac {x ^ 2 + 5x} {x ^ 2 -4x + x - 4} \\ \, \\ & = \ frac {x ^ 2 + 5x} { x ^ 2 - 3x - 4} \ end {выровнено}
Когда вы умножаете целое число (или алгебраическое выражение) на дробь, вы просто умножаете числитель дроби на целое число. Это потому, что любое целое числопможно записать какп/ 1, а затем, следуя стандартным правилам умножения дробей, множитель 1 не меняет знаменатель. Следующий пример иллюстрирует это:
\ begin {align} \ frac {x + 5} {x ^ 2 - 4} × x & = \ frac {x + 5} {x ^ 2 - 4} × \ frac {x} {1} \\ \, \\ & = \ frac {(x + 5) × x} {(x ^ 2 - 4) × 1} \\ \, \\ = & \ frac {x ^ 2 + 5x} {x ^ 2 - 4} \ end {выровнен}
Разделение рациональных выражений
Подобно умножению рациональных выражений, деление рациональных выражений следует тем же основным правилам, что и деление дробей. Когда вы делите две дроби, вы переворачиваете вторую дробь вверх ногами в качестве первого шага, а затем умножаете. Так:
\ begin {align} \ frac {4} {5} ÷ \ frac {3} {2} & = \ frac {4} {5} × \ frac {2} {3} \\ \, \\ & = \ frac {4 × 2} {5 × 3} \\ \, \\ & = \ frac {8} {15} \ end {align}
Разделение двух рациональных выражений работает точно так же, поэтому:
\ begin {align} \ frac {x + 3} {2x ^ 2} ÷ \ frac {4} {3x} & = \ frac {x + 3} {2x ^ 2} × \ frac {3x} {4} \ \ \, \\ & = \ frac {(x + 3) × 3x} {2x ^ 2 × 4} \\ \, \\ & = \ frac {3x ^ 2 + 9x} {8x ^ 2} \ end { выровнен}
Это выражение можно упростить, потому что есть множительИкс(в том числеИкс2) как в числителе, так и в множителеИкс2 в знаменателе. Один комплектИксs может отменить, чтобы дать:
\ begin {align} \ frac {3x ^ 2 + 9x} {8x ^ 2} & = \ frac {x (3x + 9)} {8x ^ 2} \\ & = \ frac {3x + 9} {8x} \ end {выровнен}
Вы можете упростить выражения только тогда, когда можете удалить множитель из всего выражения сверху и снизу, как указано выше. Следующее выражение:
\ frac {x - 1} {x}
Нельзя упростить таким же образом, потому чтоИксв знаменателе делит весь член в числителе. Вы могли написать:
\ begin {align} \ frac {x-1} {x} & = \ frac {x} {x} - \ frac {1} {x} \\ & = 1 - \ frac {1} {x} \ end {выровнено}
Но если бы вы захотели.