Все студенты-математики и многие студенты естественных наук сталкиваются с многочленами на каком-то этапе учебы, но, к счастью, с ними легко справиться, если вы изучите основы. Основные операции, которые вам нужно будет проделать с полиномиальными выражениями, - это сложение, вычитание, умножение и деление, и хотя деление может быть сложным, большую часть времени вы сможете справиться с основами с простота.
Многочлены: определение и примеры
Полиномиальный описывает алгебраическое выражение с одним или несколькими терминами, включающими переменную (или несколько), с показателями степени и, возможно, константами. Они не могут включать деление на переменную, не могут иметь отрицательные или дробные показатели и должны содержать конечное количество членов.
В этом примере показан полином:
х ^ 3 + 2 х ^ 2-9 х - 4
И это показывает еще одно:
ху ^ 2-3 х + у
Есть много способов классификации многочленов, в том числе по степени (сумма показателей степени в члене наивысшей степени, например, 3 в первый пример) и по количеству содержащихся в них терминов, таких как мономы (один член), биномы (два члена) и трехчлены (три члена). термины).
Сложение и вычитание многочленов
Сложение и вычитание полиномов зависит от объединения «похожих» терминов. Подобный термин - это термин с такими же переменными и показателями, что и другой, но число, на которое они умножены (коэффициент), может быть другим. Например,Икс2 и 4Икс 2 похожи на термины, потому что у них одна и та же переменная и показатель степени, а 2ху 4 и 6ху 4 тоже похожи на термины. Тем не мение,Икс2, Икс3, Икс2у2 а такжеу2 не похожи на термины, потому что каждый из них содержит разные комбинации переменных и показателей.
Добавьте многочлены, комбинируя одинаковые термины так же, как и другие алгебраические термины. Например, посмотрите на проблему:
(х ^ 3 + 3 х) + (9 х ^ 3 + 2 х + у)
Соберите похожие термины, чтобы получить:
(х ^ 3 + 9 х ^ 3) + (3 х + 2 х) + у
А затем оцените, просто сложив коэффициенты и объединив в один член:
10 х ^ 3 + 5 х + у
Учтите, что супотому что у него нет подобного термина.
Вычитание работает точно так же:
(4 х ^ 4 + 3 у ^ 2 + 6 у) - (2 х ^ 4 + 2 у ^ 2 + у)
Во-первых, обратите внимание, что все члены в правой скобке вычитаются из членов в левой скобке, поэтому запишите это как:
4 х ^ 4 + 3 у ^ 2 + 6 у - 2 х ^ 4-2 у ^ 2- у
Объедините похожие термины и оцените, чтобы получить:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
Для такой проблемы:
(4 ху + х ^ 2) - (6 ху - 3 х ^ 2)
Обратите внимание, что знак минус применяется ко всему выражению в правой скобке, поэтому два отрицательных знака перед 3Икс2 стать знаком сложения:
(4 ху + х ^ 2) - (6 ху - 3 х ^ 2) = 4 ху + х ^ 2-6 ху + 3 х ^ 2
Затем рассчитайте, как раньше.
Умножение полиномиальных выражений
Умножайте полиномиальные выражения, используя распределительное свойство умножения. Короче говоря, умножьте каждый член первого многочлена на каждый член второго. Взгляните на этот простой пример:
4 х × (2 х ^ 2 + у)
Вы решаете эту проблему, используя свойство distributive, поэтому:
\ begin {align} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ end {выравнивается}
Таким же образом решайте более сложные задачи:
\ begin {align} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 х ^ 2 + 2 х)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 х ^ 3 + 6 х ^ 2 \ end {выровнен}
Эти проблемы могут усложняться для больших групп, но основной процесс остается прежним.
Деление полиномиальных выражений
Деление полиномиальных выражений занимает больше времени, но вы можете решать это поэтапно. Посмотрите на выражение:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Сначала запишите выражение в виде длинного деления с делителем слева и делимым справа:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
Разделите первый член делимого на первый член делителя и поместите результат в строку над делением. В таком случае,Икс2 ÷ Икс = Икс, так:
\ begin {выровнен} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {выровнен}
Умножьте этот результат на весь делитель, так что в этом случае (Икс + 2) × Икс = Икс2 + 2 Икс. Поместите этот результат ниже деления:
\ begin {align} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {align}
Вычтите результат в новой строке из терминов непосредственно над ним (обратите внимание, что технически вы меняете знак, поэтому, если у вас был отрицательный результат, вы бы добавили его вместо этого) и поместите его в строку под ним. Также переместите последний член из исходного дивиденда вниз.
\ begin {align} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {align}
Теперь повторите процесс с делителем и новым многочленом в нижней строке. Итак, разделите первый член делителя (Икс) на первый член дивиденда (−5Икс) и поместите это выше:
\ begin {align} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {выровнено}
Умножьте этот результат (−5Икс ÷ Икс= −5) на исходный дивизор (так что (Икс + 2) × −5 = −5 Икс−10) и поместите результат в новую нижнюю строку:
\ begin {align} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ конец {выровнено}
Затем вычтите нижнюю строку из следующей вверх (так что в этом случае измените знак и добавьте) и поместите результат в новую нижнюю строку:
\ begin {align} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {выровнено}
Поскольку внизу теперь есть ряд нулей, процесс завершен. Если бы остались ненулевые члены, вы бы повторили процесс еще раз. Результат находится в верхней строке, поэтому:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Это деление и некоторые другие можно решить проще, если вы можете разложить многочлен на множители в дивиденде.