Уравнения абсолютных значений поначалу могут показаться немного пугающими, но если вы будете придерживаться их, то скоро сможете легко их решать. Когда вы пытаетесь решить уравнения абсолютных значений, это помогает помнить об абсолютном значении.
Определение абсолютной ценности
Вабсолютная величинарядаИкс, написано |Икс|, это расстояние от нуля на числовой прямой. Например, −3 отстоит от нуля на 3 единицы, поэтому абсолютное значение −3 равно 3. Запишем это так: | −3 | = 3.
Еще один способ подумать об этом:абсолютная величинаположительная «версия» числа. Таким образом, абсолютное значение −3 равно 3, а абсолютное значение 9, которое уже положительно, равно 9.
Алгебраически мы можем написатьформула для абсолютного значенияэто выглядит так:
| х | = \ begin {case} x & \ text {if} x≥ 0 \\ -x & \ text {if} x ≤ 0 \ end {cases}
Возьмем пример, гдеИкс= 3. Поскольку 3 ≥ 0, абсолютное значение 3 равно 3 (в обозначении абсолютного значения это: | 3 | = 3).
А что еслиИкс= −3? Это меньше нуля, поэтому | −3 | = - (−3). Противоположное, или «отрицательное», значение −3 равно 3, поэтому | −3 | = 3.
Решение уравнений абсолютных значений
Теперь о некоторых уравнениях абсолютных значений. Общие шаги для решения уравнения абсолютного значения:
Выделите выражение абсолютного значения.
Решите положительную «версию» уравнения.
Решите отрицательную «версию» уравнения, умножив величину с другой стороны от знака равенства на -1.
Взгляните на проблему ниже, чтобы получить конкретный пример шагов.
Пример: Решите уравнение дляИкс:
| 3 + х | - 5 = 4
Вам нужно получить | 3+Икс| сам по себе слева от знака равенства. Для этого прибавьте 5 с обеих сторон:
| 3 + х | - 5 + 5 = 4 + 5 \\ | 3 + х | = 9
Решить дляИкскак будто знака абсолютного значения не было!
| 3 + х | = 9 → 3 + х = 9
Это просто: просто отнимите 3 с обеих сторон.
3 + х -3 = 9-3 \\ х = 6
Итак, одним из решений уравнения является то, чтоИкс = 6.
Начать снова в | 3+Икс| = 9. Алгебра на предыдущем шаге показала, чтоИксможет быть 6. Но поскольку это уравнение абсолютного значения, есть еще одна возможность рассмотреть. В приведенном выше уравнении абсолютное значение «чего-то» (3 +Икс) равно 9. Конечно, абсолютное значение положительного числа 9 равно 9, но здесь есть и другой вариант! Абсолютное значение −9 также равно 9. Таким образом, неизвестное «что-то» также может равняться −9.
Другими словами:
3 + х = -9
Быстрый способ прийти к этой второй версии - это умножить количество на другой стороне равно из выражения абсолютного значения (в данном случае 9) на −1, затем решите уравнение из там.
Так:
| 3 + х | = 9 → 3 + х = 9 × (-1) \\ 3 + х = -9
Вычтем 3 с обеих сторон, чтобы получить:
3 + х -3 = -9-3 \\ х = -12
Итак, есть два решения:Икс= 6 илиИкс = −12.
Вот и все! Подобные уравнения требуют практики, поэтому не волнуйтесь, если поначалу у вас возникнут трудности. Продолжайте, и станет легче!