Как решать кубические уравнения

Решение полиномиальных функций - ключевой навык для любого, кто изучает математику или физику, но разобраться в этом процессе - особенно когда речь идет о функциях высшего порядка - может быть довольно сложно. Кубическая функция - один из самых сложных типов полиномиальных уравнений, которые вам, возможно, придется решать вручную. Хотя это может быть не так просто, как решение квадратного уравнения, есть несколько методов. вы можете использовать, чтобы найти решение кубического уравнения, не прибегая к страницам и страницам подробных алгебра.

Кубическая функция - это многочлен третьей степени. Общая полиномиальная функция имеет вид:

Здесь, Икс переменная, п - это просто любое число (и степень многочлена), k - константа, а остальные буквы - постоянные коэффициенты для каждой степени Икс. Итак, кубическая функция имеет п = 3, и это просто:

Где в этом случае d

Каждое решение для Икс называется «корнем» уравнения. Кубические уравнения имеют либо один действительный корень, либо три, хотя они могут повторяться, но всегда есть хотя бы одно решение.

Тип уравнения определяется наивысшей степенью, поэтому в приведенном выше примере это не было бы кубическим уравнением, если а = 0, потому что член наивысшей мощности будет bx² и это было бы квадратное уравнение. Это означает, что все следующие кубические уравнения:

Самый простой способ решить кубическое уравнение - это догадки и алгоритм алгоритмического типа, называемый синтетическим делением. Однако начало в основном то же, что и метод проб и ошибок для решения кубических уравнений. Попробуйте угадать один из корней. Если у вас есть уравнение, в котором первый коэффициент, а, равно 1, то немного легче угадать один из корней, потому что они всегда являются множителями постоянного члена, представленного выше как d.

Итак, посмотрим, например, на следующее уравнение:

Вам нужно угадать одно из значений для Икс, но с тех пор а = 1 в этом случае вы знаете, что какое бы значение ни было, оно должно быть множителем 24. Первый такой множитель равен 1, но это оставит:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Что не равно нулю, и −1 оставит:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Что опять же не ноль. Следующий, Икс = 2 даст:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Еще один провал. Пытающийся Икс = −2 дает:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

Это означает Икс = −2 - корень кубического уравнения. Это показывает преимущества и недостатки метода проб и ошибок: вы можете получить ответ без особых усилий. думал, но это требует много времени (особенно если вам нужно перейти к более высоким факторам, прежде чем найти корень). К счастью, когда вы нашли один корень, вы можете легко решить остальную часть уравнения.

Ключевым моментом является включение факторной теоремы. Это гласит, что если Икс = s - решение, то (Икс – s) - фактор, который можно исключить из уравнения. В этой ситуации s = −2, поэтому (Икс + 2) - фактор, который мы можем вытащить, чтобы уйти:

Члены во второй группе скобок имеют форму квадратного уравнения, поэтому, если вы найдете подходящие значения для а а также б, уравнение можно решить.

Этого можно добиться с помощью синтетического деления. Сначала запишите коэффициенты исходного уравнения в верхней строке таблицы с разделительной линией и затем известным корнем справа:

Оставьте один запасной ряд, а затем добавьте под ним горизонтальную линию. Сначала возьмите первое число (в данном случае 1) в строку ниже горизонтальной линии.

Теперь умножьте полученное число на известный корень. В этом случае 1 × −2 = −2, и это записывается под следующим числом в списке следующим образом:

Затем сложите числа во втором столбце и поместите результат под горизонтальной линией:

Теперь повторите процесс, который вы только что прошли, с новым числом под горизонтальной линией: Умножьте на root, поместите ответ в пустое место в следующем столбце, а затем добавьте столбец, чтобы получить новый номер в Нижний ряд. Это оставляет:

А затем пройдите процесс в последний раз.

Тот факт, что последний ответ равен нулю, говорит вам, что у вас есть действительный корень, поэтому, если он не равен нулю, вы где-то ошиблись.

Теперь в нижнем ряду указаны множители трех членов во втором наборе скобок, поэтому вы можете написать:

И другие:

Это самый важный этап решения, и вы можете закончить с этого момента разными способами.

После того, как вы удалили фактор, вы можете найти решение, используя факторизацию. Исходя из вышеприведенного шага, это в основном та же проблема, что и факторизация квадратного уравнения, которая в некоторых случаях может быть сложной задачей. Однако для выражения:

Если вы помните, что два числа, которые вы поместили в скобки, нужно сложить, чтобы получить второй коэффициент (7), и умножить, чтобы получить третий (12), довольно легко увидеть, что в этом случае:

Вы можете умножить это, чтобы проверить, если хотите. Не расстраивайтесь, если вы не можете сразу увидеть факторизацию; это требует немного практики. Это оставляет исходное уравнение как:

Которые вы можете сразу увидеть, есть решения на Икс = −2, 3 и 4 (все они множители 24, исходная константа). Теоретически можно также увидеть всю факторизацию, начиная с исходной версии уравнения, но это намного сложнее. сложнее, поэтому лучше найти одно решение методом проб и ошибок и использовать описанный выше подход, прежде чем пытаться найти факторизация.

Если вам не удается увидеть факторизацию, вы можете использовать формулу квадратного уравнения:

Чтобы найти оставшиеся решения.

Хотя он намного больше и менее прост в обращении, существует простое средство решения кубических уравнений в виде кубической формулы. Это похоже на формулу квадратного уравнения, в которой вы просто вводите свои значения а, б, c а также d чтобы получить решение, но это намного дольше.

В нем говорится, что:

где

а также

Использование этой формулы отнимает много времени, но если вы не хотите использовать метод проб и ошибок для решения кубических уравнений, а затем квадратную формулу, это сработает, когда вы все это пройдете.