Типы уравнений алгебры

Существует пять основных типов алгебраических уравнений, различающихся положением переменных, типами используемых операторов и функций и поведением их графиков. Каждый тип уравнения имеет разные ожидаемые входные данные и дает результат с разной интерпретацией. Различия и сходство между пятью типами алгебраических уравнений и их использованием демонстрируют разнообразие и мощность алгебраических операций.

Мономы и многочлены - это уравнения, состоящие из переменных членов с целыми показателями степени. Многочлены классифицируются по количеству членов в выражении: мономы имеют один член, биномиалы ​​- два члена, трехчлены - три члена. Любое выражение, содержащее более одного члена, называется полиномом. Многочлены также классифицируются по степени, которая является номером наивысшего показателя в выражении. Многочлены первой, второй и третьей степени называются линейными, квадратичными и кубическими многочленами соответственно. Уравнение x ^ 2 - x - 3 называется квадратным трехчленом. Квадратные уравнения обычно встречаются в алгебре I и II; их график, известный как парабола, описывает дугу, образованную снарядом, выпущенным в воздух.

Экспоненциальные уравнения отличаются от полиномов тем, что они имеют переменные члены в показателях степени. Пример экспоненциального уравнения: y = 3 ^ (x - 4) + 6. Экспоненциальные функции классифицируются как экспоненциальный рост, если независимая переменная имеет положительный коэффициент, и экспоненциальный спад, если он имеет отрицательный коэффициент. Уравнения экспоненциального роста используются для описания распространения популяций и болезней, а также финансовых концепций, таких как сложные проценты (формула сложных процентов Pe ^ (rt), где P - основная сумма, r - процентная ставка, а t - сумма времени). Уравнения экспоненциального распада описывают такие явления, как радиоактивный распад.

Логарифмические функции являются обратными экспоненциальными функциями. Для уравнения y = 2 ^ x обратная функция равна y = log2 x. База логарифма b числа x равна экспоненте, до которой нужно возвести b, чтобы получить число x. Например, log2 из 16 равен 4, потому что 2 в четвертой степени равно 16. Трансцендентное число «е» чаще всего используется в качестве логарифмического основания; основание логарифма e часто называют натуральным логарифмом. Логарифмические уравнения используются во многих типах шкал интенсивности, таких как шкала Рихтера для землетрясений и шкала децибел для интенсивности звука. Шкала децибел использует логарифмическую основу 10, что означает, что увеличение на один децибел соответствует десятикратному увеличению интенсивности звука.

Рациональные уравнения - это алгебраические уравнения вида p (x) / q (x), где p (x) и q (x) - полиномы. Пример рационального уравнения: (x - 4) / (x ^ 2 - 5x + 4). Рациональные уравнения примечательны тем, что имеют асимптоты, которые представляют собой значения y и x, к которым график уравнения приближается, но никогда не достигает. Вертикальная асимптота рационального уравнения - это значение x, которого график никогда не достигает - значение y либо стремится к положительной, либо к отрицательной бесконечности, когда значение x приближается к асимптоте. Горизонтальная асимптота - это значение y, к которому график приближается, когда x стремится к положительной или отрицательной бесконечности.

Тригонометрические уравнения содержат тригонометрические функции sin, cos, tan, sec, csc и cot. Тригонометрические функции описывают соотношение между двумя сторонами прямоугольного треугольника, принимая угловую меру как входную или независимую переменную, а соотношение как выходную или зависимую переменную. Например, y = sin x описывает отношение противоположной стороны прямоугольного треугольника к его гипотенузе для угла измерения x. Тригонометрические функции отличаются тем, что они периодичны, то есть график повторяется через определенное время. График стандартной синусоиды имеет период 360 градусов.