Лучший способ разложить многочлены на дроби начинается с сокращения дробей до более простых членов. Многочлены представляют собой алгебраические выражения с двумя или более терминами, точнее, сумму нескольких терминов, которые имеют разные выражения одной и той же переменной. Стратегии, которые помогают упростить многочлены, включают в себя выделение наибольшего общего множителя с последующим группированием уравнения по его наименьшим членам. То же самое верно даже при решении многочленов с дробями.
Полиномы с определенными дробями
У вас есть три способа просмотреть фразовые многочлены с дробями. Первая интерпретация обращается к многочленам с дробными коэффициентами. В алгебре коэффициент определяется как числовая величина или константа, находящаяся перед переменной. Другими словами, коэффициенты для 7_a_, б и (1/3)c равны 7, 1 и (1/3) соответственно. Таким образом, два примера полиномов с дробными коэффициентами:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 \ text {и} x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8}
Вторая интерпретация «многочленов с дробями» относится к многочленам, существующим в дроби или соотношении. форма с числителем и знаменателем, где полином числителя делится на знаменатель полином. Например, эта вторая интерпретация иллюстрируется:
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
Третья интерпретация, тем временем, относится к разложению частичной дроби, также известному как расширение частичной дроби. Иногда полиномиальные дроби такие сложные, что когда они «раскладываются» или «разбиваются» на более простые термины, они представлены в виде сумм, разностей, произведений или частных полиномов фракции. Чтобы проиллюстрировать, сложная полиномиальная дробь:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
вычисляется с помощью частичного разложения на дроби, которое, кстати, включает разложение многочленов на множители, в его простейшей форме:
\ bigg (\ frac {3} {x + 2} \ bigg) + \ bigg (\ frac {5} {x-1} \ bigg)
Основы факторинга - распределительная собственность и метод FOIL
Факторы представляют собой два числа, которые при умножении равны третьему числу. В алгебраических уравнениях факторизация определяет, какие две величины были перемножены, чтобы получить данный многочлен. Дистрибутивность строго соблюдается при умножении многочленов. Свойство распределения по существу позволяет умножать сумму путем умножения каждого числа по отдельности перед сложением продуктов. Посмотрите, например, как свойство распределения применяется в примере:
7 (10x + 5) \ text {для получения бинома} 70x + 35.
Но если два бинома умножаются вместе, то расширенная версия свойства распределения используется с помощью метода FOIL. FOIL представляет собой аббревиатуру для умножения первого, внешнего, внутреннего и последнего терминов. Следовательно, факторизация полиномов влечет за собой выполнение метода FOIL в обратном порядке. Возьмем два вышеупомянутых примера с полиномами, содержащими дробные коэффициенты. Выполнение метода FOIL в обратном направлении для каждого из них приводит к факторам
\ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
для первого многочлена, а множители
\ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} {2} \ bigg)
для второго многочлена.
Пример:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 = \ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
Пример:
x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8} = \ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} { 2} \ bigg)
Что нужно делать при разложении полиномиальных дробей
Сверху полиномиальные дроби включают полином в числителе, деленный на полином в знаменателе. Таким образом, вычисление дробей полинома требует факторизации полинома числителя, а затем факторизации полинома знаменателя. Это помогает найти наибольший общий множитель, или GCF, между числителем и знаменателем. Как только GCF числителя и знаменателя найден, он сокращается, в конечном итоге сводя все уравнение к упрощенным терминам. Рассмотрим исходный пример полиномиальной дроби, приведенный выше.
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
Разложение полиномов числителя и знаменателя на множители для нахождения GCF приводит к:
\ frac {(x + 2) (x + 5)} {(x + 2) (x + 9)}
с GCF, являющимся (Икс + 2).
GCF в числителе и знаменателе компенсируют друг друга, чтобы дать окончательный ответ в наименьших числах (Икс + 5) ÷ (Икс + 9).
Пример:
\ begin {align} \ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18} & = \ frac {\ cancel {(x + 2)} (x + 5)} {\ cancel {( x + 2)} (x + 9)} \\ & = \ frac {x + 5} {x + 9} \ end {выровнено}
Вычисление уравнений с помощью разложения на частичные дроби
Разложение на частичные дроби, которое включает факторизацию, представляет собой способ переписать сложные уравнения полиномиальных дробей в более простую форму. Возвращаясь к приведенному выше примеру
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
Упростить знаменатель
Упростим знаменатель, чтобы получить:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2} = \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)}
Переставьте числитель
Затем переставьте числитель так, чтобы в знаменателе присутствовали GCF, чтобы получить:
\ begin {align} \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)} & = \ frac {3x + 5x - 3 + 10} {(x + 2) (x - 1)} \ \ & = \ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} \\ \ end {выровнено}
Для левого слагаемого GCF равен (Икс - 1), а для правого слагаемого GCF равен (Икс + 2), которые сокращаются в числителе и знаменателе, как показано в:
\ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} = \ frac {3 \ cancel {(x - 1)}} {(x + 2) \ cancel {(x - 1)}} + \ frac {5 \ cancel {(x + 2)}} {\ cancel {(x + 2)} (x - 1) }
Таким образом, когда GCF отменяются, окончательный упрощенный ответ:
\ frac {3} {x + 2} + \ frac {5} {x - 1}
как решение частичного разложения фракций.