Алгебра часто требует упрощения выражений, но с некоторыми выражениями сложнее работать, чем с другими. Комплексные числа включают количество, известное какя, «воображаемое» число со свойствомя= √−1. Если вам нужно просто выражение, содержащее комплексное число, это может показаться сложным, но это довольно простой процесс, если вы изучите основные правила.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Упростите комплексные числа, следуя правилам алгебры с комплексными числами.
Что такое комплексное число?
Комплексные числа определяются включением в нихячлен, который является квадратным корнем из минус единицы. В математике базового уровня квадратные корни из отрицательных чисел на самом деле не существуют, но иногда они появляются в задачах алгебры. Общий вид комплексных чисел показывает их структуру:
г = а + би
Гдеzобозначает комплексное число,апредставляет любое число (называемое «реальной» частью), ибпредставляет собой другое число (называемое «мнимой» частью), оба из которых могут быть положительными или отрицательными. Итак, пример комплексного числа:
г = 2 −4i
Поскольку все квадратные корни отрицательных чисел могут быть представлены кратнымия, это форма для всех комплексных чисел. Технически, обычное число просто описывает частный случай комплексного числа, когдаб= 0, поэтому все числа можно считать комплексными.
Основные правила алгебры с комплексными числами
Чтобы сложить и вычесть комплексные числа, просто сложите или вычтите действительную и мнимую части по отдельности. Итак, для комплексных чиселz = 2 – 4яа такжеш = 3 + 5я, сумма составляет:
\ begin {align} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {выровнено}
Вычитание чисел работает таким же образом:
\ begin {выровнены} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2-3) + (-4-5) i \\ & = -1 -9i \ end {выровнены }
Умножение - еще одна простая операция с комплексными числами, потому что она работает как обычное умножение, за исключением того, что вы должны помнить, чтоя2 = −1. Итак, чтобы вычислить 3я × −4я:
3i × -4i = -12i ^ 2
Но с тех поря2= −1, тогда:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
С полными комплексными числами (используяz = 2 – 4яа такжеш = 3 + 5яснова), вы умножаете их так же, как и на обычные числа, например (а + б) (c + d), используя метод «первый, внутренний, внешний, последний» (FOIL), чтобы получить (а + б) (c + d) = ac + до н.э + объявление + bd. Все, что вам нужно запомнить, это упростить любые экземплярыя2. Так например:
\ begin {align} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ end {выровнено}
Деление комплексных чисел
Для деления комплексных чисел числитель и знаменатель дроби умножаются на комплексное сопряжение знаменателя. Комплексное сопряжение просто означает версию комплексного числа с перевернутой мнимой частью. Таким образом, дляz = 2 – 4я, комплексно сопряженноеz = 2 + 4я, и дляш = 3 + 5я, ш = 3 −5я. Для проблемы:
\ frac {z} {w} = \ frac {2–4i} {3 + 5i}
Необходимый конъюгатш*. Разделите числитель и знаменатель на это, чтобы получить:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
И затем вы работаете, как в предыдущем разделе. Числитель дает:
\ begin {align} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ end {align}
А знаменатель дает:
\ begin {выровнен} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ end {выровнен}
Это означает:
\ begin {align} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {выровнено}
Упрощение комплексных чисел
При необходимости используйте приведенные выше правила для упрощения сложных выражений. Например:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
Это можно упростить, используя правило сложения в числителе, правило умножения в знаменателе и затем завершая деление. Для числителя:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Для знаменателя:
\ begin {выровнен} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4-2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ end {выровнен}
Их установка на место дает:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Умножение обеих частей на сопряжение знаменателя приводит к:
\ begin {align} z & = \ frac {(6 + i) (2–6i)} {(2 + 6i) (2–6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {выровнен}
Так это значитzупрощается следующим образом:
\ begin {align} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {выровнено}