Кинетическая энергия вращенияописывает энергию движения в результате вращения объекта или кругового движения. Напомним, чтолинейная кинетическая энергиямассымдвижется со скоростьюvдается 1/2 мВ2. Это простой расчет для любого объекта, движущегося по прямой линии. Он применяется к центру масс объекта, что позволяет аппроксимировать объект как точечную массу.
Теперь, если мы хотим описать кинетическую энергию протяженного объекта, совершающего более сложное движение, расчет становится более сложным.
Мы могли бы сделать последовательные приближения, разбив протяженный объект на маленькие части, каждый из которых можно аппроксимировать как точечной массы, а затем вычислите линейную кинетическую энергию для каждой точечной массы отдельно и сложите их все, чтобы найти общую объект. Чем меньше мы разбиваем объект, тем лучше приближение. В пределе, когда части становятся бесконечно малыми, это можно сделать с помощью исчисления.
Но нам повезло! Когда дело доходит до вращательного движения, есть упрощение. Для вращающегося объекта, если мы опишем его распределение массы вокруг оси вращения с помощью его момента инерции,
я, тогда мы сможем использовать простое уравнение кинетической энергии вращения, которое обсуждается далее в этой статье.Момент инерции
Момент инерции- это мера того, насколько сложно заставить объект изменить свое вращательное движение вокруг определенной оси. Момент инерции вращающегося объекта зависит не только от массы объекта, но и от того, как эта масса распределяется вокруг оси вращения. Чем дальше от оси распределена масса, тем труднее изменить ее вращательное движение и, следовательно, тем больше момент инерции.
В системе СИ для момента инерции используются кг · м.2 (что согласуется с нашим представлением о том, что это зависит от массы и от расстояния от оси вращения). Моменты инерции для разных объектов можно найти в таблице или из расчетов.
Советы
Момент инерции любого объекта можно найти с помощью расчетов и формулы для момента инерции точечной массы.
Уравнение кинетической энергии вращения
Формула для кинетической энергии вращения определяется следующим образом:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
Гдеямомент инерции объекта иωугловая скорость объекта в радианах в секунду (рад / с). В системе СИ единицей измерения кинетической энергии вращения является джоуль (Дж).
Форма формулы вращательной кинетической энергии аналогична уравнению поступательной кинетической энергии; момент инерции играет роль массы, а угловая скорость заменяет линейную скорость. Обратите внимание, что уравнение кинетической энергии вращения дает тот же результат для точечной массы, что и линейное уравнение.
Если представить себе точечную массумдвижется по кругу радиусарсо скоростьюv, то его угловая скорость ω = v / r, а момент инерции mr2. Оба уравнения кинетической энергии дают одинаковый результат, как и ожидалось:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\ cancel {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Если объект одновременно вращается и его центр масс движется по прямой линии (например, как это происходит с катящейся шиной), тополная кинетическая энергияпредставляет собой сумму кинетической энергии вращения и кинетической энергии поступательного движения:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Примеры использования формулы кинетической энергии вращения
Формула кинетической энергии вращения имеет множество приложений. Его можно использовать для расчета простой кинетической энергии вращающегося объекта, для расчета кинетической энергии катящийся объект (объект, совершающий как вращательное, так и поступательное движение) и решить для других неизвестные. Рассмотрим следующие три примера:
Пример 1:Земля вращается вокруг своей оси примерно раз в 24 часа. Если предположить, что он имеет однородную плотность, какова его кинетическая энергия вращения? (Радиус Земли 6.37 × 106 м, а его масса составляет 5,97 × 1024 кг.)
Чтобы найти кинетическую энергию вращения, мы сначала должны найти момент инерции. Приближая Землю к твердой сфере, мы получаем:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5.97 \ times10 ^ {24} \ text {kg}) (6.37 \ times10 ^ 6 \ text {m}) ^ 2 = 9,69 \ times10 ^ {37} \ text {кгм} ^ 2
Угловая скорость составляет 2π радиан / сутки. Преобразование этого в рад / с дает:
2 \ pi \ frac {\ text {радианы}} {\ cancel {\ text {day}}} \ frac {1 \ cancel {\ text {day}}} {86400 \ text {секунды}} = 7,27 \ times10 ^ {-5} \ text {рад / с}
Таким образом, кинетическая энергия вращения Земли равна:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9.69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7.27 \ times10 ^ {- 5} \ text {рад / с}) ^ 2 = 2,56 \ times 10 ^ {29} \ text {J}
Интересный факт: это более чем в 10 раз больше энергии, выделяемой солнцем за минуту!
Пример 2:Единый цилиндр массой 0,75 кг и радиусом 0,1 м катится по полу с постоянной скоростью 4 м / с. Какова его кинетическая энергия?
Полная кинетическая энергия определяется как:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
В этом случае I = 1/2 mr2 - момент инерции твердого цилиндра, аωсвязана с линейной скоростью соотношением ω = v / r.
Упрощение выражения для полной кинетической энергии и подстановка значений дает:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ text {кг}) (4 \ text {m / s}) = 2,25 \ text {J}
Обратите внимание, что нам даже не нужно было использовать радиус! Это исключено из-за прямой зависимости между скоростью вращения и линейной скоростью.
Пример 3:Студент на велосипеде спускается с холма после отдыха. Если высота холма по вертикали 30 м, насколько быстро ученик движется по подножию холма? Предположим, велосипед весит 8 кг, всадник весит 50 кг, каждое колесо весит 2,2 кг (включая вес велосипеда) и каждое колесо имеет диаметр 0,7 м. Приблизьте колеса как обручи и предположите, что трение незначительно.
Здесь мы можем использовать сохранение механической энергии, чтобы определить конечную скорость. Потенциальная энергия на вершине холма превращается в кинетическую энергию внизу. Эта кинетическая энергия является суммой поступательной кинетической энергии всей системы человек + велосипед и кинетической энергии вращения шин.
Полная энергия системы:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ text {кг} + 8 \ text {кг}) (9,8 \ text {m / s} ^ 2) (30 \ text {m}) = 17,052 \ текст {J}
Формула для полной энергии через кинетические энергии у подножия холма:
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {шины} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ раз m_ {шина} \ раз r_ {шина} ^ 2) (v / r_ {шина}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {шина} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {шина} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Решение дляvдает:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {шина} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Наконец, подставляя числа, мы получаем ответ:
v = \ sqrt {\ frac {17 052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23.4 \ text {м / с}