Интегрирующие функции - одно из основных приложений исчисления. Иногда это просто, например:
F (х) = \ int (х ^ 3 + 8) dx
В сравнительно сложном примере этого типа вы можете использовать версию основной формулы для интегрирования неопределенных интегралов:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
гдеАа такжеCявляются константами.
Таким образом, в этом примере
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Интеграция основных функций квадратного корня
На первый взгляд, интегрировать функцию квадратного корня неудобно. Например, вас могут загнать в угол:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Но вы можете выразить квадратный корень как показатель степени 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Таким образом, интеграл становится:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
к которому вы можете применить обычную формулу сверху:
\ begin {align} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {выровнено}
Интеграция более сложных функций квадратного корня
Иногда под знаком радикала может стоять несколько терминов, как в этом примере:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Ты можешь использоватьты-замена продолжить. Здесь вы устанавливаететыравно количеству в знаменателе:
u = \ sqrt {x - 3}
Решите это дляИксвозводя обе стороны в квадрат и вычитая:
и ^ 2 = х - 3 \\ х = и ^ 2 + 3
Это позволяет получить dx с точки зрениятывзяв производную отИкс:
dx = (2u) du
Подстановка обратно в исходный интеграл дает
\ begin {align} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {выровнено}
Теперь вы можете интегрировать это, используя основную формулу и выражаятыс точки зренияИкс:
\ begin {align} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ end {выровнено}