Закон синусов - это формула, которая сравнивает соотношение между углами треугольника и длинами его сторон. Если вы знаете хотя бы две стороны и один угол или два угла и одну сторону, вы можете использовать закон синусов, чтобы найти другие недостающие части информации о вашем треугольнике. Однако в очень ограниченном наборе обстоятельств вы можете получить два ответа на один угол. Это известно как двусмысленный случай закона синусов.
Когда может случиться неоднозначный случай
Неоднозначный случай закона синусов может произойти только в том случае, если часть «известной информации» вашего треугольника состоит из двух сторон и угла, где угол равеннетмежду двумя известными сторонами. Иногда это сокращенно называют SSA или треугольником с боковым углом. Если бы угол был между двумя известными сторонами, он был бы сокращен как SAS или треугольник стороны-угла-стороны, и неоднозначный случай не применялся бы.
Краткое изложение закона синуса
Закон синусов можно записать двумя способами. Первая форма удобна для поиска размеров недостающих сторон:
\ frac {a} {\ sin (A)} = \ frac {b} {\ sin (B)} = \ frac {c} {\ sin (C)}
Вторая форма удобна для нахождения мер недостающих углов:
\ frac {\ sin (A)} {a} = \ frac {\ sin (B)} {b} = \ frac {\ sin (C)} {c}
Обратите внимание, что обе формы эквивалентны. Использование той или иной формы не повлияет на результат ваших расчетов. Это просто упрощает работу с ними в зависимости от решения, которое вы ищете.
Как выглядит неоднозначный случай
В большинстве случаев единственным признаком того, что у вас может быть двусмысленный случай, является наличие треугольника SSA, в котором вас просят найти один из недостающих углов. Представьте, что у вас есть треугольник с угломА= 35 градусов, сторонаа= 25 единиц и сторонаб= 38 единиц, и вас попросили найти измерение углаB. Как только вы найдете недостающий угол, вы должны проверить, применим ли неоднозначный случай.
Вставьте вашу известную информацию в закон синусов. Используя вторую форму, вы получите:
\ frac {\ sin (35)} {25} = \ frac {\ sin (B)} {38} = \ frac {\ sin (C)} {c}
Не обращать внимания на грех (C)/c; это не имеет значения для целей этого расчета. Итак, на самом деле у вас есть:
\ frac {\ sin (35)} {25} = \ frac {\ sin (B)} {38}
Решить дляB. Один из вариантов - перекрестное умножение; это дает вам:
25 × \ грех (В) = 38 × \ грех (35)
Затем упростите, используя калькулятор или диаграмму, чтобы найти значение sin (35). Это примерно 0,57358, что дает вам:
25 × \ sin (B) = 38 × 0,57358
что упрощает:
25 × \ sin (B) = 21,79604
Затем разделите обе части на 25, чтобы изолировать sin (B), что дает вам:
\ sin (B) = 0,8718416
Завершить решение дляBвозьмем арксинус или обратный синус 0,8718416. Или, другими словами, используйте свой калькулятор или диаграмму, чтобы найти приблизительное значение угла B, который имеет синус 0,8718416. Этот угол составляет примерно 61 градус.
Проверить на неоднозначный случай
Теперь, когда у вас есть начальное решение, пора проверить неоднозначный случай. Этот случай возникает потому, что для каждого острого угла есть тупой угол с тем же синусом. Таким образом, хотя ~ 61 градус - это острый угол с синусом 0,8718416, вы также должны рассматривать тупой угол как возможное решение. Это немного сложно, потому что ваш калькулятор и ваша таблица значений синуса, скорее всего, не скажут вам о тупом угле, поэтому вы должны не забыть проверить его.
Найдите тупой угол с таким же синусом, вычтя найденный угол - 61 градус - из 180. Итак, у вас 180 - 61 = 119. Таким образом, 119 градусов - это тупой угол, который имеет тот же синус, что и 61 градус. (Вы можете проверить это с помощью калькулятора или синусоидальной диаграммы.)
Но будет ли этот тупой угол правильным треугольником с другой информацией, которая у вас есть? Вы можете легко проверить, добавив этот новый тупой угол к «известному углу», который вы получили в исходной задаче. Если общая сумма меньше 180 градусов, тупой угол представляет собой допустимое решение, и вам придется продолжить любые дальнейшие вычисления с помощьюобадопустимые треугольники в рассмотрении. Если сумма больше 180 градусов, тупой угол не является допустимым решением.
В этом случае «известный угол» составлял 35 градусов, а вновь обнаруженный тупой угол - 119 градусов. Так что у тебя есть:
119 + 35 = 154 \ text {градусы}
Поскольку 154 градуса <180 градусов, применим неоднозначный случай, и у вас есть два верных решения: рассматриваемый угол может составлять 61 градус или он может составлять 119 градусов.