В геометрии радиан - это единица измерения углов. Радиан определяется длиной радиуса круга. Отрезок окружности круга, соответствующий углу между двумя радиусными линиями, образует дугу. Угол, который образует эта дуга, когда вы проводите линии от ее начальной и конечной точек к центру круга, составляет один радиан. Хотя радиан сначала может показаться странным и сложным, он упрощает уравнения в математике и физике.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
В геометрии радиан - это единица измерения, основанная на окружности и используемая для измерения углов. Это упрощает вычисления в сложных математических дисциплинах.
Градусы vs. Радианы
Помимо физики и продвинутой математики, градусы обычно являются более привычными единицами измерения углов. Например, круг имеет 360 градусов, треугольник - 180, а прямой угол - 90 градусов. Напротив, полный круг имеет 2 × π (пи) радиан, треугольник - π радиан, а прямой угол равен π / 2 радиан. В круге целое число градусов, тогда как в радианах это иррациональное число, поэтому радианы на первый взгляд могут показаться странными. С другой стороны, вы можете выражать доли градуса в виде десятичной дроби или минут, секунд и десятичных секунд, которые вы также используете со временем, поэтому у градуса есть свои собственные проблемы.
Легче и сложнее
С измерениями в градусах обычно легче работать, чем с радианами для базовой арифметики и тригонометрии; вам редко приходится иметь дело с долями π при выражении угла. Но для исчисления и другой продвинутой математики оказывается, что радианы проще. Например, степенной ряд для функции синуса в радианах выглядит следующим образом:
\ sin (x) = x - \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} - \ frac {x ^ 7} {7!} + \ frac {x ^ 9 } {9!} + ...
В градусах функция выглядит так:
\ sin (x) = (π × x / 180) - \ frac {(π × x / 180) ^ 3} {3!} + \ frac {(π × x / 180) ^ 5} {5!} - \ frac {(π × x / 180) ^ 7} {7!} + \ frac {(π × x / 180) ^ 9} {9!} + ...
Обратите внимание, что для этого степенного ряда вам нужно повторить «π ×Икс/ 180 ”для каждого члена - много дополнительных записей и вычислений по сравнению с более аккуратным, более компактным эквивалентом в радианах. Радиан происходит от естественной геометрии круга, а не от деления на произвольное число, как это делают градусы. Поскольку радианы упрощают многие вычисления, математики считают единицы более «естественными», чем градусы.
Использование радианов
В дополнение к степенным рядам, таким как пример синусоидальной функции, вы увидите радианы в математике, включающей исчисление и дифференциальные уравнения. Например, когда вы используете радианы, производная синусоидальной функции sin (Икс), это просто косинус, cos (Икс). Однако в градусах производная sin (Икс) является более громоздким (π ÷ 180) × cos (Икс). По мере того, как вы прогрессируете в математике, задачи усложняются, а решения требуют гораздо большего количества линий вычислений и алгебры. Радианы избавят вас от лишнего написания и уменьшат вероятность ошибок.
В физике формулы для частоты волн и скорости вращения объектов используют омегу в нижнем регистре: «ω, »Как удобное сокращение для« 2 × π × радиан в секунду ».
Преобразование градусов в радианы
Формулы для преобразования градусов в радианы и обратно просты. Чтобы преобразовать углы из градусов в радианы, умножьте угол на π, а затем разделите на 180. Например, у круга 360 градусов. Умноженное на π, получается 360π; затем разделите на 180, и вы получите 2π радиан. Чтобы преобразовать радианы в градусы, умножьте на 180, а затем разделите на π. Например, преобразовать прямой угол π ÷ 2 радиана. Умножьте на 180, чтобы получить 90π, а затем разделите на π, чтобы получить результат, 90 градусов.