Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но не обязательно одного размера. Когда треугольники похожи, они обладают многими одинаковыми свойствами и характеристиками. Теоремы подобия треугольников определяют условия, при которых два треугольника подобны, и имеют дело со сторонами и углами каждого треугольника. Как только определенная комбинация углов и сторон удовлетворяет теоремам, вы можете считать треугольники похожими.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Существуют три теоремы подобия треугольников, которые определяют, при каких условиях треугольники подобны:
- Если два угла совпадают, третий угол будет таким же, а треугольники подобны.
- Если три стороны имеют одинаковые пропорции, треугольники похожи.
- Если две стороны имеют одинаковые пропорции и угол наклона одинаковый, треугольники подобны.
Теоремы AA, AAA и угол-угол
Если два из углов двух треугольников совпадают, треугольники аналогичны. Это становится ясно из наблюдения, что сумма трех углов треугольника должна составлять 180 градусов. Если известны два угла, третий можно найти, вычтя два известных угла из 180. Если три угла двух треугольников одинаковы, треугольники имеют одинаковую форму и похожи.
SSS или теорема сторона-сторона-сторона
Если все три стороны двух треугольников одинаковы, они не только похожи, но и совпадают или идентичны. Для подобных треугольников три стороны двух треугольников должны быть пропорциональными. Например, если у одного треугольника стороны 3, 5 и 6 дюймов, а у второго - 9, 15 и 18, дюймов, каждая из сторон большего треугольника в три раза больше длины одной из сторон меньшего треугольник. Стороны пропорциональны друг другу, а треугольники похожи.
SAS или теорема о боковых углах и сторонах
Два треугольника подобны, если две из сторон двух треугольников пропорциональны, а включенный угол или угол между сторонами одинаков. Например, если две стороны треугольника равны 2 и 3 дюйма, а стороны другого треугольника - 4 и 6. дюймов, стороны пропорциональны, но треугольники могут не быть похожими, потому что две третьи стороны могут быть любыми длина. Если включенный угол одинаков, то все три стороны треугольников пропорциональны, а треугольники подобны.
Другие возможные комбинации угловых сторон
Если одна из трех теорем подобия треугольников выполняется для двух треугольников, треугольники подобны. Но есть и другие возможные комбинации бокового угла, которые могут гарантировать, а могут и не гарантировать сходство.
Для конфигураций, известных как угол-угол-сторона (AAS), угол-сторона-угол (ASA) или угол-угол-угол (SAA), не имеет значения, насколько велики стороны; треугольники всегда будут похожи. Эти конфигурации сводятся к теореме угол-угол AA, что означает, что все три угла одинаковы, а треугольники похожи.
Однако конфигурации стороны-стороны-угла или угла-стороны-стороны не гарантируют сходства. (Не путайте боковой угол с боковым углом; "стороны" и "углы" в каждом имени относятся к порядку, в котором вы сталкиваетесь со сторонами и углами.) В некоторых случаях, например для прямоугольных треугольников, если две стороны пропорциональны, а углы, которые не включены, одинаковы, треугольники похожий. Во всех остальных случаях треугольники могут быть похожими, а могут и не быть.
Подобные треугольники вписываются друг в друга, могут иметь параллельные стороны и масштабироваться от одного до другого. Определение того, похожи ли два треугольника с помощью теорем подобия треугольников, важно, когда такие характеристики применяются для решения геометрических задач.