Что такое пифагорейские тождества?

Большинство людей помнятТеорема Пифагораот начинающей геометрии - это классика. Это

а ^ 2 + Ь ^ 2 = с ^ 2

гдеа​, ​ба такжеcстороны прямоугольного треугольника (cгипотенуза). Что ж, эту теорему тоже можно переписать для тригонометрии!

TL; DR (слишком длинный; Не читал)

TL; DR (слишком длинный; Не читал)

Тождества Пифагора - это уравнения, которые записывают теорему Пифагора в терминах триггерных функций.

ГлавныйПифагорейские тождестванаходятся:

\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ cot ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)

Пифагорейские тождества являются примерамитригонометрические тождества: равенства (уравнения), использующие тригонометрические функции.

Почему это имеет значение?

Тождества Пифагора могут быть очень полезны для упрощения сложных триггерных операторов и уравнений. Запомните их сейчас, и вы сэкономите много времени в будущем!

Доказательство с использованием определений триггерных функций

Эти тождества довольно просто доказать, если подумать об определениях триггерных функций. Например, давайте докажем, что

instagram story viewer

\ грех ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1

Помните, что определение синуса - это противоположная сторона / гипотенуза, а косинус - это смежная сторона / гипотенуза.

Так

\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {напротив} ^ 2} {\ text {гипотенуза} ^ 2}

А также

\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {смежный} ^ 2} {\ text {гипотенуза} ^ 2}

Вы можете легко сложить эти два значения, потому что знаменатели совпадают.

\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {противоположный} ^ 2 + \ text {смежный} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}

А теперь еще раз взглянем на теорему Пифагора. Он говорит, чтоа2 + ​б2 = ​c2. Имейте в виду, чтоаа такжебобозначают противоположные и смежные стороны, иcобозначает гипотенузу.

Вы можете переставить уравнение, разделив обе части наc2:

a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1

Са2 а такжеб2 - противоположные и смежные стороны иc2 - гипотенуза, у вас есть утверждение, эквивалентное приведенному выше, с (напротив2 + соседний2) / гипотенуза2. И благодаря работе са​, ​б​, ​cи теорема Пифагора, теперь вы можете видеть, что это утверждение равно 1!

Так

\ frac {\ text {напротив} ^ 2 + \ text {смежный} ^ 2} {\ text {гипотенуза} ^ 2} = 1

и поэтому:

\ грех ^ 2 + \ соз ^ 2 = 1

(И лучше правильно записать: грех2(​θ) + cos2(​θ​) = 1).

Взаимные идентичности

Давайте посмотрим навзаимные идентичноститакже. Помните, чтовзаимныйэто единица, деленная на («больше») вашего числа - также известное как обратное.

Поскольку косеканс обратно пропорционален синусу:

\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}

Вы также можете подумать о косекансе, используя определение синуса. Например, синус = противоположная сторона / гипотенуза. Обратным будет дробь, перевернутая вверх дном, т.е. гипотенуза / противоположная сторона.

Аналогично, обратная величина косинуса является секущей, поэтому она определяется как

\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {или} \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {смежная сторона}}

А обратная величина тангенса - котангенс, поэтому

\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {смежная сторона}} {\ text {противоположная сторона}}

Доказательства пифагорейских тождеств с использованием секанса и косеканса очень похожи на доказательства для синуса и косинуса. Вы также можете вывести уравнения, используя «родительское» уравнение sin2(​θ) + cos2(​θ) = 1. Разделите обе стороны на cos2(​θ), чтобы получить тождество 1 + tan2(​θ) = сек2(​θ). Разделите обе стороны грехом2(​θ) получить тождество 1 + детская кроватка2(​θ) = csc2(​θ​).

Удачи и обязательно запомните три пифагорейских тождества!

Teachs.ru
  • Доля
instagram viewer