Как и в алгебре, когда вы начинаете изучать тригонометрию, вы накапливаете наборы формул, которые полезны для решения задач. Один из таких наборов - это тождества с половинными углами, которые можно использовать для двух целей. Один из них - преобразовать тригонометрические функции от (θ/ 2) в функции с точки зрения более знакомых (и более легко управляемых)θ. Другой - найти фактическое значение тригонометрических функцийθ, когдаθможно выразить как половину более привычного ракурса.
Обзор полуугловых идентичностей
Многие учебники математики перечисляют четыре основных тождества полууглов. Но, применяя сочетание алгебры и тригонометрии, эти уравнения можно преобразовать в несколько полезных форм. Вам не обязательно все это запоминать (если только ваш учитель не настаивает на этом), но вы должны, по крайней мере, понимать, как их использовать:
Идентичность полуугловой синусоиды
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Идентичность полууглового косинуса
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Полугловые тождества для касательной
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Полугловые тождества для котангенса
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Пример использования полуугловых тождеств
Так как же использовать тождества с половинным углом? Первый шаг - признать, что вы имеете дело с углом, который вдвое меньше более привычного.
- Квадрант I: все триггерные функции
- Квадрант II: только синус и косеканс
- Квадрант III: только тангенс и котангенс
- Квадрант IV: только косинус и секанс
представьте, что вас просят найти синус угла 15 градусов. Это не тот угол, для которого большинство студентов запомнит значения триггерных функций. Но если вы позволите 15 градусам равняться θ / 2, а затем решите относительно θ, вы обнаружите, что:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Поскольку результирующий угол θ, 30 градусов, является более привычным углом, здесь будет полезно использовать формулу половинного угла.
Поскольку вас попросили найти синус, на самом деле есть только одна формула полуугла на выбор:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Подставляя вθ/ 2 = 15 градусов иθ= 30 градусов дает:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Если бы вас попросили найти тангенс или котангенс, оба из которых наполовину умножают способы выражения их идентичности половинного угла, вы бы просто выбрали вариант, который выглядел бы наиболее простым в работе.
Знак ± в начале некоторых тождеств половинного угла означает, что рассматриваемый корень может быть положительным или отрицательным. Вы можете разрешить эту двусмысленность, используя свои знания тригонометрических функций в квадрантах. Вот краткое описание того, какие триггерные функции возвращаютположительныйзначения, в которых квадранты:
Поскольку в этом случае ваш угол θ представляет 30 градусов, что попадает в квадрант I, вы знаете, что значение синуса, которое он возвращает, будет положительным. Таким образом, вы можете отбросить знак ± и просто оценить:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Подставим знакомое известное значение cos (30). В этом случае используйте точные значения (в отличие от десятичных приближений из диаграммы):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Затем упростите правую часть уравнения, чтобы найти значение sin (15). Начните с умножения выражения под корнем на 2/2, что даст вам:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
Это упрощает:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Затем вы можете вынести квадратный корень из 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
В большинстве случаев это почти все, что вы можете упростить. Хотя результат может быть не очень красивым, вы перевели синус незнакомого угла в точную величину.