Что общего у дробей 1/2, 2/4, 3/6, 150/300 и 248/496? Все они эквивалентны, потому что, если вы сведете их все к простейшей форме, все они будут равны одному и тому же: 1/2. В этом примере вы просто вычеркиваете наибольшие общие множители из числителя и знаменателя, пока не дойдете до 1/2. Но есть и другие способы усложнения дроби. Независимо от того, что мешает вашей фракции существовать в ее простейшей форме, решение состоит в том, чтобы помнить, что вы можете выполнять практически любую операцию с дробью, если вы делаете то же самое и с числителем, и с знаменатель.
Удаление общих факторов
Наиболее частая причина, по которой вас просят написать дробь в ее простейшей форме, - это если и числитель, и знаменатель имеют общие множители.
Запишите множители для числителя вашей дроби, затем выпишите множители для знаменателя. Например, если ваша дробь 14/20, коэффициенты для числителя и знаменателя следующие:
14: 1, 2, 7, 14
20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Определите общие факторы больше 1. В этом примере наибольший общий делитель обоих чисел равен 2.
Разделите числитель и знаменатель дроби на наибольший общий множитель. Чтобы продолжить пример:
14 ÷ 2 = 7
а также
20 ÷ 2 = 10
так что ваша новая фракция станет:
\ frac {7} {10}
Поскольку вы выполнили одну и ту же операцию как с числителем, так и со знаменателем дроби, она по-прежнему эквивалентна исходной дроби. Его стоимость не изменилась; изменилось только то, как вы это пишете.
Проверьте свою работу, чтобы убедиться, что все готово. Если у числителя и знаменателя нет общих делителей больше единицы, дробь имеет простейшую форму.
Упрощение дробей с помощью радикалов
Есть несколько других "сложностей", которые очень часто встречаются, когда вы впервые начинаете работать с дробями. Первый - это когда в знаменателе дроби появляется знак радикала или квадратного корня:
\ frac {2} {\ sqrt {a}}
В таком случае, а может стоять за любое число; это просто заполнитель. И независимо от того, что это за число под знаком радикала, вы используете ту же процедуру, чтобы удалить радикал из знаменателя, что также известно как рационализация знаменателя. Вы умножаете знаменатель на тот же радикал, который он уже содержит, пользуясь тем свойством, что √a × √a = а, или, другими словами, когда вы умножаете квадратный корень на себя, вы фактически стираете знак корня, оставляя себе только цифру (или, в данном случае, букву) внизу.
Конечно, вы не можете выполнить какую-либо операцию со знаменателем дроби, не применив ту же операцию к числителю, поэтому вам нужно умножить верхнюю и нижнюю часть дроби на √a. Это дает вам:
\ frac {2 \ sqrt {a}} {\ sqrt {a} × \ sqrt {a}}
или, как только вы его упростили
\ frac {2 \ sqrt {а}} {а}
В этом случае вы не можете полностью избавиться от квадратного корня, но на данном этапе математики радикалы обычно допустимы в числителе, но не в знаменателе.
Упрощение сложных дробей
Еще одно распространенное препятствие, с которым вы можете столкнуться при написании дроби в ее простейшей форме, - это сложная дробь, то есть дробь, имеющая Другой дробь либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих. В этом случае полезно помнить, что любая дробь а/б также можно записать как а ÷ б. Поэтому вместо того, чтобы запутаться, если вы видите что-то вроде 1/2/3/4, вы можете начать с написания этого со знаком деления:
\ frac {1} {2} ÷ \ frac {3} {4}
Затем помните, что деление на дробь аналогично умножению на обратное. Или, говоря другими словами, вы получите тот же результат, если перевернете эту вторую дробь вверх ногами (создав обратную) и умножите на нее, что является гораздо более простой операцией. Итак, ваша операция становится:
\ frac {1} {2} × \ frac {4} {3} = \ frac {4} {6}
Обратите внимание, что вы вернулись к простой дроби - в числителе или знаменателе нет «лишних» дробей, но это не совсем простые дроби. Вы также можете вынести 2 из числителя и знаменателя, что даст вам 2/3 в качестве окончательного ответа.