В математике и геометрии один из навыков, который отличает экспертов от претендентов, - это знание уловок и сокращений. Время, которое вы тратите на их изучение, окупается за счет экономии времени при решении проблем. Например, стоит знать два специальных прямоугольных треугольника, которые, как только вы их узнаете, будет несложно решить. В частности, два треугольника - это 30-60-90 и 45-45-90.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Два специальных прямоугольных треугольника имеют внутренние углы 30, 60 и 90 градусов, а также 45, 45 и 90 градусов.
О прямоугольных треугольниках
Треугольники - это трехсторонние многоугольники, внутренние углы которых составляют в сумме 180 градусов. Прямоугольный треугольник - это особый случай, когда один из углов равен 90 градусам, поэтому два других угла по определению должны составлять в сумме 90 градусов. Синус, косинус, тангенс и другие тригонометрические функции позволяют вычислять внутренние углы прямоугольных треугольников, а также длину их сторон. Еще один незаменимый инструмент для вычисления прямоугольных треугольников - это теорема Пифагора, которая гласит: что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов двух других стороны, или
с ^ 2 = а ^ 2 + Ь ^ 2
Решение специальных прямоугольных треугольников
Когда вы работаете над любой задачей прямоугольного треугольника, вам обычно дают по крайней мере один угол и одну сторону и просят вычислить оставшиеся углы и стороны. Используя приведенную выше формулу Пифагора, вы можете рассчитать длину любой стороны, если вам даны две другие. Большим преимуществом специальных прямоугольных треугольников является то, что пропорции длины их сторон всегда одинаковы, поэтому вы можете найти длину всех сторон, если вам дан только один. Кроме того, если вам дана только одна сторона, а треугольник особенный, вы также можете найти значения углов.
Треугольник 30-60-90
Как следует из названия, прямоугольный треугольник 30-60-90 имеет внутренние углы 30, 60 и 90 градусов. Как следствие, стороны этого треугольника попадают в пропорции 1: 2: √3, где 1 и √3 - длины противоположных и смежных сторон, а 2 - гипотенуза. Эти числа всегда идут вместе: если вы решите стороны прямоугольного треугольника и обнаружите, что они соответствуют шаблону, 1, 2, √3, вы знаете, что углы будут 30, 60 и 90 градусов. Точно так же, если вам дан один из углов как 30, вы знаете, что два других - 60 и 90, а также что стороны будут иметь пропорции 1: 2: √3.
Треугольник 45-45-90
Треугольник 45-45-90 работает так же, как и треугольник 30-60-90, за исключением того, что два угла равны, как и противоположные и смежные стороны. Он имеет внутренние углы 45, 45 и 90 градусов. Пропорции сторон треугольника равны 1: 1: √2, а пропорция гипотенузы - √2. Две другие стороны равны по длине. Если вы работаете с прямоугольным треугольником и один из внутренних углов составляет 45 градусов, вы знаете, что тот момент, что оставшийся угол также должен составлять 45 градусов, потому что весь треугольник в сумме должен составлять 180 градусов.
Стороны и пропорции треугольника
Решая два специальных прямоугольных треугольника, помните, что этопропорциисторон, а не их измерение в абсолютном выражении. Например, у треугольника есть стороны размером 1 фут, 1 фут и √2 фута, так что вы знаете, что это треугольник 45–45–90 с внутренними углами 45, 45 и 90 градусов.
Но что делать с прямоугольным треугольником, стороны которого имеют размеры √17 футов и √17 футов? Пропорции сторон являются ключевыми. Поскольку две стороны идентичны, соотношение между ними составляет 1: 1, а поскольку это прямоугольный треугольник, соотношение гипотенузы составляет 1: √2 с любой из других сторон. Равные пропорции подсказывают вам, что стороны равны 1, 1, √2, что относится только к специальному треугольнику 45-45-90. Чтобы найти гипотенузу, умножьте √17 на √2, чтобы получить √34 фута.