Радикальные фракции - это не маленькие мятежные фракции, которые задерживаются допоздна, пьют и курят травку. Вместо этого это дроби, которые включают радикалы - обычно квадратные корни, когда вы впервые знакомитесь с концепции, но позже вы также можете столкнуться с кубическими корнями, четвертыми корнями и т. д., все из которых называются радикалы тоже. В зависимости от того, что именно ваш учитель просит вас сделать, есть два способа упростить радикальные дроби: либо исключить радикальные дроби. полностью, упростите его или "рационализируйте" дробь, что означает, что вы исключите радикал из знаменателя, но все еще можете иметь радикал в числитель.
Удаление радикальных выражений из дроби
Рассмотрите свой первый вариант, исключив радикал из дроби. На самом деле есть два способа сделать это. Если такой же радикал существует в все условия как в верхней, так и в нижней части дроби вы можете просто вычленить и отменить радикальное выражение. Например, если у вас есть:
(2√3) / (3√3_)_
Вы можете вычесть оба радикала, потому что они присутствуют в каждом члене в числителе и знаменателе. Это оставляет вам:
√3/√3 × 2/3
И поскольку любая дробь с одинаковыми ненулевыми значениями в числителе и знаменателе равна единице, вы можете переписать это как:
1 × 2/3
Или просто 2/3.
Упрощение радикального выражения
Иногда вы столкнетесь с радикальным выражением, на которое нет краткого ответа, как, например, √3 из предыдущего примера. В этом случае вы обычно сохраняете радикальный термин таким, какой он есть, используя базовые операции, такие как факторинг или отмена, чтобы либо удалить, либо изолировать его. Но иногда есть очевидный ответ. Рассмотрим следующую дробь:
(√4)/(√9)
В этом случае, если вы знаете свои квадратные корни, вы можете видеть, что оба радикала на самом деле представляют собой знакомые целые числа. Квадратный корень из 4 равен 2, а квадратный корень из 9 равен 3. Итак, если вы видите знакомые квадратные корни, вы можете просто переписать дробь с ними в их упрощенной целочисленной форме. В этом случае у вас будет:
2/3
Это также работает с кубическими корнями и другими радикалами. Например, кубический корень из 8 равен 2, а кубический корень из 125 равен 5. Итак, если вы столкнулись:
(3√8) / (3√125)
Вы могли бы, немного попрактиковавшись, сразу увидеть, что это упрощается до гораздо более простого и легкого в обращении:
2/5
Рационализация знаменателя
Часто учителя позволяют вам сохранить радикальные выражения в числителе дроби; но, как и число ноль, радикалы вызывают проблемы, когда они появляются в знаменателе или нижнем числе дроби. Итак, последний способ, которым вас могут попросить упростить радикальные дроби, - это операция, называемая их рационализацией, что означает просто удаление радикала из знаменателя. Часто это означает, что вместо этого в числителе появляется радикальное выражение.
Рассмотрим дробь
4/_√_5
Вы не можете легко упростить _√_5 до целого числа, и даже если вы его вычлените, у вас все равно останется дробь, в знаменателе которой есть радикал, а именно:
1/_√_5 × 4/1
Так что ни один из уже обсужденных методов не сработает. Но если вы помните свойства дробей, дробь с любым ненулевым числом сверху и снизу равна 1. Итак, вы могли написать:
√_5/√_5 = 1
И поскольку вы можете умножить что-либо еще в 1 раз, не изменяя значение этой другой вещи, вы также можете написать следующее, фактически не изменяя значение дроби:
√_5/√5 × 4/√_5
Когда вы умножаетесь, происходит что-то особенное. Числитель становится 4_√_5, что приемлемо, потому что вашей целью было просто вывести радикал из знаменателя. Если он появляется в числителе, вы можете с ним разобраться.
Между тем знаменатель становится √_5 × √5 или (√_5)2. А поскольку квадратный корень и квадрат компенсируют друг друга, это упрощается до 5. Итак, ваша фракция сейчас:
4_√_5 / 5, которая считается рациональной дробью, потому что в знаменателе нет радикала.