Вы не можете решить уравнение, содержащее дробь с иррациональным знаменателем, что означает, что знаменатель содержит член со знаком радикала. Сюда входят квадратные, кубические и более высокие корни. Избавление от радикального знака называется рационализацией знаменателя. Когда в знаменателе один член, вы можете сделать это, умножив верхний и нижний члены на радикал. Когда в знаменателе два члена, процедура немного усложняется. Вы умножаете верхнюю и нижнюю части на сопряжение знаменателя, а затем расширяете и просто числитель.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Чтобы рационализировать дробь, вам нужно умножить числитель и знаменатель на число или выражение, которое избавляет от знаков корня в знаменателе.
Рационализация дроби с одним членом в знаменателе
Дробь с квадратным корнем из одного члена в знаменателе проще всего рационализировать. В общем случае дробь имеет вида / √Икс. Вы рационализируете это, умножая числитель и знаменатель на √Икс.
\ frac {\ sqrt {x}} {\ sqrt {x}} × \ frac {a} {\ sqrt {x}} = \ frac {a \ sqrt {x}} {x}
Поскольку все, что вы сделали, это умножили дробь на 1, ее значение не изменилось.
Пример:
Рационализировать
\ frac {12} {\ sqrt {6}}
Умножьте числитель и знаменатель на √6, чтобы получить
\ frac {12 \ sqrt {6}} {6}
Вы можете упростить это, разделив 6 на 12, чтобы получить 2, поэтому упрощенная форма рационализированной дроби
2 \ sqrt {6}
Рационализация дроби с двумя членами в знаменателе
Предположим, у вас есть дробь в виде
\ frac {a + b} {\ sqrt {x} + \ sqrt {y}}
Вы можете избавиться от радикального знака в знаменателе, умножив выражение на его сопряжение. Для общего двучлена видаИкс + у, сопряжениеИкс − у. Когда вы умножаете их вместе, вы получаетеИкс2 − у2. Применяя эту технику к обобщенной дроби выше:
\ frac {a + b} {\ sqrt {x} + \ sqrt {y}} × \ frac {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} \ \ \, \\ (a + b) × \ frac {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} {x - y}
Разверните числитель, чтобы получить
\ frac {a \ sqrt {x} -a \ sqrt {y} + b \ sqrt {x} - b \ sqrt {y}} {x - y}
Это выражение становится менее сложным, если вы подставляете целые числа вместо некоторых или всех переменных.
Пример:
Рационализируйте знаменатель дроби
\ frac {3} {1 - \ sqrt {y}}
Сопряжение знаменателя равно 1 - (−√у) = 1+ √у. Умножьте числитель и знаменатель на это выражение и упростите:
\ frac {3 × (1 + \ sqrt {y})} {1 - y} \\ \, \\ \ frac {3 + 3 \ sqrt {y}} {1 - y}
Рационализация кубических корней
Когда в знаменателе стоит кубический корень, вам нужно умножить числитель и знаменатель на кубический корень из квадрата числа под знаком корня, чтобы избавиться от знака корня в знаменатель. В общем, если у вас есть дробь в видеа / 3√Икс, умножить верхнюю и нижнюю на 3√Икс2.
Пример:
Рационализируйте знаменатель:
\ frac {7} {\ sqrt [3] {x}}
Умножьте числитель и знаменатель на 3√Икс2 получить
\ frac {7 × \ sqrt [3] {x ^ 2}} {\ sqrt [3] {x} × \ sqrt [3] {x ^ 2}} = \ frac {7 × \ sqrt [3] {x ^ 2}} {\ sqrt [3] {x ^ 3}} \\ \, \\ \ frac {7 \ sqrt [3] {x ^ 2}} {x}
