В математике радикал - это любое число, которое включает знак корня (√). Число под знаком корня является квадратным корнем, если перед знаком корня нет верхнего индекса, кубический корень - это верхний индекс 3 перед ним (3√), корень четвертой степени, если ему предшествует 4 (4√) и так далее. Многие радикалы нельзя упростить, поэтому деление на один требует специальных алгебраических методов. Чтобы использовать их, запомните эти алгебраические равенства:
\ sqrt {\ frac {a} {b}} = \ frac {\ sqrt {a}} {\ sqrt {b}}
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b}
Числовой квадратный корень в знаменателе
В общем, выражение с числовым квадратным корнем в знаменателе выглядит так:
\ frac {a} {\ sqrt {b}}
Чтобы упростить эту дробь, вы рационализируете знаменатель, умножая всю дробь на √б/√б.
Так как
\ sqrt {b} × \ sqrt {b} = \ sqrt {b ^ 2} = b
выражение становится
\ frac {a \ sqrt {b}} {b}
Примеры:
1. Рационализируйте знаменатель дроби
\ frac {5} {\ sqrt {6}}
Решение:Умножьте дробь на √6 / √6.
\ frac {5 \ sqrt {6}} {\ sqrt {6} \ sqrt {6}} \\ \, \\ \ frac {5 \ sqrt {6}} {6} \ text {или} \ frac {5 } {6} × \ sqrt {6}
2. Упростить дробь
\ frac {6 \ sqrt {32}} {3 \ sqrt {8}}
Решение:В этом случае вы можете упростить, разделив числа вне знака корня и числа внутри него двумя отдельными операциями:
\ frac {6} {3} = 2 \\ \, \\ \ frac {\ sqrt {32}} {\ sqrt {8}} = \ sqrt {4} = 2
Выражение сводится к
2 × 2 = 4
Деление кубическими корнями
Такая же общая процедура применяется, когда радикал в знаменателе представляет собой куб, корень четвертой или более высокой степени. Чтобы рационализировать знаменатель с кубическим корнем, вам нужно найти число, которое при умножении на число под знаком корня дает третье число в степени, которое можно вычесть. В общем, рационализируйте количество
\ frac {a} {\ sqrt [3] {b}} \ text {путем умножения на} \ frac {\ sqrt [3] {b ^ 2}} {\ sqrt [3] {b ^ 2}}
Пример:
1. Рационализировать
\ frac {5} {\ sqrt [3] {5}}
Умножьте числитель и знаменатель на 3√25.
\ frac {5 × \ sqrt [3] {25}} {\ sqrt [3] {5} × \ sqrt [3] {25}} \\ \, \\ = \ frac {5 \ sqrt [3] { 25}} {\ sqrt [3] {125}} \\ \, \\ = \ frac {5 \ sqrt [3] {25}} {5}
Цифры вне знака корня отменяют, и ответ:
\ sqrt [3] {25}
Переменные с двумя членами в знаменателе
Когда радикал в знаменателе включает два члена, вы обычно можете упростить его, умножив на его сопряжение. Сопряжение включает те же два члена, но вы меняете знак между ними. Например, сопряжение
х + у \ текст {есть} х - у
Когда вы умножаете их вместе, вы получаете
х ^ 2 - у ^ 2
Пример:
1. Рационализируйте знаменатель
\ frac {4} {х + \ sqrt {3}}
Решение: умножьте верх и низ на x - √3
\ frac {4 (x - \ sqrt {3})} {(x + \ sqrt {3}) (x - \ sqrt {3})}
Упрощать:
\ frac {4x - 4 \ sqrt {3}} {x ^ 2 - 3}