Основы квадратного корня (примеры и ответы)

Квадратные корни часто встречаются в задачах по математике и естествознанию, и любой ученик должен овладеть основами квадратного корня, чтобы ответить на эти вопросы. Квадратные корни спрашивают, «какое число при умножении само на себя дает следующий результат», и поэтому их вычисление требует, чтобы вы относились к числам немного по-другому. Однако вы можете легко понять правила извлечения квадратного корня и ответить на любые вопросы, связанные с ними, независимо от того, требуют ли они прямого вычисления или просто упрощения.

TL; DR (слишком длинный; Не читал)

Квадратный корень спрашивает вас, какое число при умножении само на себя дает результат после символа √. Итак, √9 = 3 и √16 = 4. Технически каждый корень имеет положительный и отрицательный ответ, но в большинстве случаев положительный ответ - это тот, который вас заинтересует.

Вы можете разложить квадратные корни на множители, как обычные числа, поэтому √ab​ = √​а​ √​б, или √6 = √2√3.

Квадратные корни противоположны «возведению в квадрат» числа или его умножению на само себя. Например, три в квадрате - девять (3

Символ «√» говорит вам извлекать квадратный корень из числа, и вы можете найти его на большинстве калькуляторов.

Помните, что на самом деле каждое число имеетдваквадратные корни. Три, умноженные на три, равняются девяти, но отрицательные три, умноженные на отрицательные три, также равны девяти, поэтому

с ± вместо "плюс или минус". Во многих случаях можно игнорировать отрицательные квадратные корни чисел, но иногда важно помнить, что каждое число имеет два корня.

Вас могут попросить извлечь «кубический корень» или «корень четвертой степени» из числа. Кубический корень - это число, которое при двойном умножении на себя равно исходному числу. Корень четвертой степени - это число, которое при трехкратном умножении на себя равно исходному числу. Как и квадратные корни, это полная противоположность мощности чисел. Итак, 3³ = 27, и это означает, что кубический корень из 27 равен 3, или

Символ «∛» представляет собой кубический корень из числа, следующего за ним. Корни иногда также выражаются дробными степенями, поэтому

Одна из самых сложных задач, которые вам, возможно, придется выполнить с квадратными корнями, - это упрощение больших квадратных корней, но вам просто нужно следовать некоторым простым правилам, чтобы ответить на эти вопросы. Вы можете разложить квадратные корни на множители так же, как и обычные числа. Так, например, 6 = 2 × 3, поэтому

Упрощение больших корней означает поэтапную факторизацию и запоминание определения квадратного корня. Например, √132 - большой корень, и может быть трудно понять, что делать. Однако вы можете легко увидеть, что оно делится на 2, поэтому вы можете написать

Однако 66 также делится на 2, поэтому вы можете написать:

В этом случае квадратный корень из числа, умноженный на другой квадратный корень, просто дает исходное число (из-за определения квадратного корня), поэтому

Короче говоря, вы можете упростить квадратные корни, используя следующие правила

Используя приведенные выше определения и правила, вы можете найти квадратные корни из большинства чисел. Вот несколько примеров, которые стоит рассмотреть.

Его нельзя найти напрямую, потому что это не квадратный корень из целого числа. Однако использование правил для упрощения дает:

Это использует простой квадратный корень из 4, который равен √4 = 2. Задачу точно можно решить с помощью калькулятора, а √8 = 2,8284 ...

Используя тот же подход, попробуйте вычислить квадратный корень из 12. Разделите корень на факторы, а затем посмотрите, сможете ли вы снова разделить его на факторы. Попробуйте это как практическую задачу, а затем посмотрите на решение ниже:

Опять же, это упрощенное выражение можно либо использовать в задачах по мере необходимости, либо точно рассчитать с помощью калькулятора. Калькулятор показывает, что

Таким же образом можно найти квадратный корень из 20:

Наконец, возьмите квадратный корень из 32, используя тот же подход:

Здесь обратите внимание, что мы уже вычислили квадратный корень из 8 как 2√2, и что √4 = 2, поэтому:

Хотя определение квадратного корня означает, что отрицательные числа не должны иметь квадратного корня (потому что любое число, умноженное на само по себе дает положительное число в результате), математики столкнулись с ними как часть задач по алгебре и разработали решение. «Мнимое» числояиспользуется для обозначения «квадратного корня из минус 1», а любые другие отрицательные корни выражаются как кратныея. Так

Эти проблемы более сложные, но вы можете научиться решать их, исходя из определенияяи стандартные правила для корней.

Проверьте свое понимание квадратных корней, упростив при необходимости, а затем вычислив следующие корни:

Попытайтесь решить их, прежде чем смотреть ответы ниже: