Вы когда-нибудь задумывались, как связаны тригонометрические функции, такие как синус и косинус? Они оба используются для вычисления сторон и углов в треугольниках, но взаимосвязь идет дальше этого.Идентичности совместных функцийдайте нам конкретные формулы, которые показывают, как преобразовать синус и косинус, тангенс и котангенс, а также секанс и косеканс.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Синус угла равен косинусу его дополнения и наоборот. Это верно и для других совместных функций.
Простой способ запомнить, какие функции являются совместными функциями, состоит в том, что две триггерные функциисовместные функцииесли перед одним из них стоит префикс «co-». Так:
- синус иcoсинусыcoфункции.
- касательная иcoкасательныеcoфункции.
- секущий иcoсекущиеcoфункции.
Мы можем рассчитывать вперед и назад между кофункциями, используя следующее определение: значение функции угла равно значению совместной функции дополнения.
Звучит сложно, но вместо того, чтобы говорить о значении функции в целом, давайте воспользуемся конкретным примером. В
синусугла равняетсякосинусего дополнения. То же самое и с другими функциями: тангенс угла равен котангенсу его дополнения.Помните: два угладополняетесли они складываются до 90 градусов.
Идентичность совместных функций в градусах:
(Обратите внимание, что 90 ° -Иксдает нам угловое дополнение.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ cot (90 ° - x) \\ \ cot (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Тождества кофункций в радианах
Помните, что мы также можем писать в терминахрадианы, которая является единицей СИ для измерения углов. Девяносто градусов - это то же самое, что π / 2 радиан, поэтому мы также можем записать тождества кофункций следующим образом:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - х \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ cot \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cot (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - х \ bigg)
Подтверждение идентичности совместной работы
Все это звучит хорошо, но как мы можем доказать, что это правда? Проверить это самостоятельно на паре примеров треугольников может помочь вам почувствовать себя уверенно, но есть и более строгое алгебраическое доказательство. Докажем тождества кофункций для синуса и косинуса. Мы будем работать в радианах, но это то же самое, что и в градусах.
Доказательство:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Прежде всего, вернитесь в свою память к этой формуле, потому что мы собираемся использовать ее в нашем доказательстве:
\ соз (А - В) = \ соз (А) \ соз (В) + \ грех (А) \ грех (В)
Понятно? ОК. А теперь докажем: грех (Икс) = cos (π / 2 - x).
Мы можем переписать cos (π / 2 -Икс) как это:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( Икс)
потому что мы знаем
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {и} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Так
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Та-да! Теперь докажем это с помощью косинуса!
Доказательство:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Еще один взрыв из прошлого: помните эту формулу?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Мы собираемся его использовать. А теперь докажем:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Мы можем переписать sin (π / 2 -Икс) как это:
\ begin {align} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {выровнено}
потому что мы знаем
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {и} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Итак, мы получаем
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Калькулятор функций
Попробуйте несколько примеров самостоятельной работы с совместными функциями. Но если вы застряли, у Math Celebrity есть калькулятор совместных функций, который показывает пошаговые решения проблем совместных функций.
Удачных расчетов!