В то время как английские слова «последовательность» и «серия» имеют схожие значения, в математике это совершенно разные понятия. Последовательность - это список чисел, расположенных в определенном порядке, а серия - это сумма такого списка чисел. Есть много видов последовательностей, в том числе основанные на бесконечных списках чисел. Различные последовательности и соответствующие серии обладают разными свойствами и могут давать удивительные результаты.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Последовательности - это списки чисел, расположенные в определенном порядке согласно заданным правилам. Ряд, соответствующий последовательности, представляет собой сумму чисел в этой последовательности. Серии могут быть арифметическими, что означает фиксированная разница между числами в серии, или геометрическими, что означает фиксированный коэффициент. Бесконечные серии не имеют окончательного номера, но могут иметь фиксированную сумму при определенных условиях.
Типы последовательностей и серий
Обычные последовательности - арифметические или геометрические. В арифметической последовательности каждое число или член последовательности отличается от предыдущего члена на ту же величину. Например, если разница в арифметической последовательности равна 2, соответствующая арифметическая последовательность может быть 1, 3, 5... Если разница составляет -3, последовательность может быть 4, 1, -2... Арифметическая последовательность определяется начальным номером и разницей.
Для геометрических последовательностей термины различаются в несколько раз. Например, последовательность с коэффициентом 2 может быть 2, 4, 8... и последовательность с коэффициентом 0,75 может быть 32, 24, 18... Геометрическая последовательность определяется начальным номером и коэффициентом.
Типы серий зависят от добавляемой последовательности. Арифметический ряд добавляет элементы арифметической последовательности, а геометрический ряд добавляет геометрическую последовательность.
Конечные и бесконечные последовательности и серии
Последовательности и соответствующие серии могут быть основаны на фиксированном количестве членов или бесконечном количестве. Конечная последовательность имеет начальный номер, разность или коэффициент и фиксированное общее количество членов. Например, первая арифметическая последовательность выше с восемью членами будет 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Первая геометрическая последовательность выше с шестью членами будет 2, 4, 8, 16, 32, 64. Соответствующий арифметический ряд будет иметь значение 64, а геометрический ряд 126. Бесконечные последовательности не имеют фиксированного числа членов, и их члены могут расти до бесконечности, уменьшаться до нуля или приближаться к фиксированному значению. Соответствующий ряд также может иметь бесконечный, нулевой или фиксированный результат.
Сходящиеся и расходящиеся серии
Бесконечные ряды расходятся, если сумма приближается к бесконечности по мере увеличения числа членов. Бесконечный ряд сходится, если его сумма приближается к небесконечному значению, например к нулю или другому фиксированному числу. Ряды сходятся, если члены базовой последовательности быстро приближаются к нулю.
Ряд, складывающий члены бесконечной последовательности 1, 2, 4... расходится, потому что члены последовательности продолжают расти, позволяя сумме достигать бесконечного значения по мере увеличения количества членов. Серии 1, 0,5, 0,25... сходится, потому что члены быстро становятся очень маленькими.
Хотя последовательности представляют собой упорядоченные списки чисел, а серии - суммы, оба могут быть важными инструментами в оценка наборов чисел, и свойства конвергенции или расхождения могут иметь реальную жизнь подразумеваемое. Расходящийся ряд часто представляет собой нестабильное состояние, в то время как сходящийся ряд часто означает, что процесс или структура будут стабильными.