Кинематика - это математический раздел физики, который использует уравнения для описания движения объектов (в частности,траектории) без ссылки на силы.
Эти уравнения позволяют вам просто подставить различные числа в одно из четырех основныхкинематические уравнениянаходить неизвестные в этих уравнениях, не применяя каких-либо знаний о физике этого движения или вообще не имея каких-либо знаний физики. Достаточно хорошо владеть алгеброй, чтобы пробить себе путь через простые задачи о движении снаряда, не получая при этом реальной оценки лежащих в основе науки.
Кинематика обычно применяется для решенияклассическая механикапроблемы для движения водно измерение(по прямой) или вдва измерения(с вертикальными и горизонтальными компонентами, как вдвижение снаряда).
В действительности события, описываемые как происходящие в одном или двух измерениях, разворачиваются в обычном трехмерном пространстве, но для кинематические цели, x имеет «правое» (положительное) и «левое» (отрицательное) направления, а y имеет «вверх» (положительное) и «вниз» (отрицательное). направления. Концепция «глубины» - то есть направления прямо к вам и от вас - не учитывается в этой схеме, и обычно в этом нет необходимости по причинам, объясненным позже.
Физические определения, используемые в кинематике
Задачи кинематики связаны с положением, скоростью, ускорением и временем в некоторой комбинации. Скорость - это скорость изменения положения во времени, а ускорение - это скорость изменения скорости во времени; как выводится каждый из них - это проблема, с которой вы можете столкнуться в математике. В любом случае, два основных понятия кинематики - это позиция и время.
Подробнее об этих отдельных переменных:
- Положение и смещение представлены значкомсистема координат x, y, а иногдаθ(Греческая буква тета, используется в углах в геометрии движения) ирв полярной системе координат. В единицах СИ (международная система) расстояние выражается в метрах (м).
- Скоростьvв метрах в секунду (м / с).
- Ускорениеаили же
α
(греческая буква альфа), изменение скорости во времени, выражается в м / с / с или м / с.2. Времят этов секундах. Если присутствует, начальная и конечнаяиндексы (яа такжежили, альтернативно,0а такжежгде0называется "ноль") обозначают начальное и конечное значения любого из вышеперечисленных. Это константы внутри любой проблемы и направление (например,Икс) также может быть в нижнем индексе для предоставления конкретной информации.
Смещение, скорость и ускорениевекторные величины. Это означает, что они имеют как величину (число), так и направление, которое в случае ускорения может не совпадать с направлением движения частицы. В кинематических задачах эти векторы, в свою очередь, можно разбить на отдельные векторы x и y. С другой стороны, такие единицы измерения, как скорость и расстояние,скалярные величиныпоскольку у них есть только величина.
Четыре кинематических уравнения
Математика, необходимая для решения кинематических задач, сама по себе не сложна. Однако научиться назначать правильные переменные нужным фрагментам информации, заданной в задаче, поначалу может быть непросто. Это помогает определить переменную, которую проблема просит вас найти, а затем посмотрите, что вам дается для этой задачи.
Далее следуют четыре кинематические формулы. В то время как «x» используется в демонстрационных целях, уравнения одинаково справедливы для направления «y». Предположим постоянное ускорениеав любой задаче (в вертикальном движении это частограмм, ускорение свободного падения у поверхности Земли, равное 9,8 м / с.2).
x = x_0 + / frac {1} {2} (v + v_0) t
Обратите внимание, что (1/2)(v + v0)этоСредняя скорость.
v = v_0 + при
Это повторение идеи о том, что ускорение - это разница в скорости во времени, или a = (v - v0) / т.
x = x_0 + v_0t + \ frac {1} {2} в ^ 2
Форма этого уравнения, в которой начальное положение (y0) и начальной скорости (v0лет) равны нулю, это уравнение свободного падения:у = - (1/2) гт2. Отрицательный знак указывает, что сила тяжести ускоряет объекты вниз или вдоль отрицательной оси Y в стандартной системе координат.
v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2a (х-х_0)
Это уравнение полезно, когда вы не знаете (и не должны знать) время.
В другом списке кинематических уравнений могут быть немного разные формулы, но все они описывают одни и те же явления. Чем больше вы смотрите на них, тем более знакомыми они станут, даже если вы еще сравнительно новичок в решении кинематических задач.
Подробнее о кинематических моделях
Кинематические кривые - это обычные графики, показывающие положение по сравнению с время (Икспротив.т), скорость в зависимости от время (vпротив.т) и ускорение vs. время (апротив.т). В каждом случае время является независимой переменной и лежит на горизонтальной оси. Это делает положение, скорость и ускорениезависимые переменные, и как таковые они находятся на вертикальной оси. (В математике и физике, когда говорят, что одна переменная «сопоставлена» другой, первая является зависимой переменной, а вторая - независимой переменной.)
Эти графики можно использовать длякинематический анализдвижения (например, чтобы увидеть, в каком временном интервале объект был остановлен или ускорялся).
Эти графики также связаны тем, что для любого заданного временного интервала, если позиция vs. график времени известен, два других можно быстро создать, проанализировав его наклон: скорость vs. время - это наклон позиции vs. времени (поскольку скорость - это скорость изменения положения или, с точки зрения вычислений, его производная), и ускорение в зависимости от время - это крутизна зависимости скорости от времени (ускорение - это скорость изменения скорости).
Примечание о сопротивлении воздуха
На вводных курсах механики студентов обычно просят игнорировать влияние сопротивления воздуха в задачах кинематики. В действительности эти эффекты могут быть значительными и могут сильно замедлить частицу, особенно на более высоких скоростях, посколькусила сопротивленияжидкости (включая атмосферу) пропорциональна не только скорости, но и квадрату скорости.
Из-за этого каждый раз, когда вы решаете проблему, включая компоненты скорости или смещения, и вас просят исключить влияние сопротивления воздуха из расчета, признайте что реальные значения, вероятно, будут несколько ниже, а значения времени несколько выше, потому что перемещение с места на место по воздуху занимает больше времени, чем основные уравнения предсказывать.
Примеры задач одномерной и двумерной кинематики.
Первое, что нужно сделать, столкнувшись с проблемой кинематики, - это определить переменные и записать их. Вы можете, например, составить список всех известных переменных, таких как x0 = 0, v0x = 5 м / с и так далее. Это помогает подготовить почву для выбора, какое из кинематических уравнений лучше всего позволит вам перейти к решению.
Одномерные задачи (линейная кинематика) обычно связаны с движением падающих объектов, хотя они может включать в себя объекты, ограниченные движением по горизонтальной линии, например, автомобиль или поезд на прямой дороге или отслеживать.
Примеры одномерной кинематики:
1. Что этоконечная скоростьпенни, упавшего с вершины небоскреба высотой 300 м (984 фута)?
Здесь движение происходит только в вертикальном направлении. Начальная скоростьv0лет = 0, поскольку пенни уронили, а не выбросили. у - у0, или общее расстояние -300 м. Вы ищете значение vу (или vфу). Значение ускорения –g или –9,8 м / с.2.
Поэтому вы используете уравнение:
v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2a (y-y_0)
Это сводится к:
v ^ 2 = (2) (- 9,8) (- 300) = 5,880 \ подразумевает v = –76,7 \ text {м / с}
Это работает быстро и даже смертельно: (76,7 м / с) (миля / 1609,3 м) (3600 с / час) = 172,5 миль в час. ВАЖНО: возведение в квадрат члена скорости в этом типе задач скрывает тот факт, что его значение может быть отрицательным, как в этом случае; вектор скорости частицы направлен вниз по оси y. Математически обаv= 76,7 м / с иv= –76,7 м / с - решения.
2. Каково смещение автомобиля, движущегося с постоянной скоростью 50 м / с (около 112 миль в час) по гоночной трассе в течение 30 минут, сделав при этом ровно 30 кругов?
Это своего рода вопрос с подвохом. Пройденное расстояние - это просто произведение скорости и времени: (50 м / с) (1800 с) = 90 000 м или 90 км (около 56 миль). Но смещение равно нулю, потому что машина заводится там же, где и начинается.
Примеры двумерной кинематики:
3. Бейсболист бросает мяч горизонтально со скоростью 100 миль в час (45 м / с) с крыши здания в первой задаче. Подсчитайте, как далеко он пролетит по горизонтали, прежде чем ударится о землю.
Для начала нужно определить, как долго мяч находится в воздухе. Обратите внимание, что, несмотря на то, что мяч имеет горизонтальную составляющую скорости, это все еще проблема свободного падения.
Сначала используйте v = v0 + в и подставляем значения v = –76,7 м / с, v0 = 0 и a = –9,8 м / с2 решить для t, что составляет 7,8 секунды. Затем подставьте это значение в уравнение постоянной скорости (поскольку нет ускорения в направлении x)х = х0 + VTдля определения x, полного горизонтального смещения:
х = (45) (7,8) = 351 \ текст {м}
или 0,22 мили.
Таким образом, теоретически мяч приземлится на расстоянии около четверти мили от основания небоскреба.
Кинематический анализ: скорость vs. Расстояние до соревнований в легкой атлетике
Помимо предоставления полезных физических данных об отдельных событиях, данные, относящиеся к кинематике, могут использоваться для установления взаимосвязей между различными параметрами одного и того же объекта. Если объект оказывается человеком-спортсменом, существуют возможности использования физических данных, чтобы помочь составить график спортивной подготовки и в некоторых случаях определить идеальное место для трека.
Например, спринты включают дистанции до 800 метров (чуть меньше полумили), забеги на средние дистанции. охватывают дистанцию от 800 метров до 3000 метров, а настоящие дистанции на дальние дистанции составляют 5000 метров (3,107 мили). и выше. Если вы изучите мировые рекорды по беговым соревнованиям, вы увидите отчетливую и предсказуемую обратную связь между дистанцией забега (параметр положения, скажем,Икс) и мировой рекорд скорости (v, или скалярная составляющаяv).
Если группа спортсменов проведет серию гонок на разных дистанциях, а скорость vs. График расстояний создается для каждого бегуна, у тех, кто лучше бегает на длинные дистанции, будет более пологая кривая, так как их скорость меньше замедляется с увеличением дистанции по сравнению с бегунами, чья естественная «золотая середина» находится в более коротких расстояния.
Законы Ньютона
Исаак Ньютон (1642-1726) был, по любым меркам, одним из самых выдающихся интеллектуальных образцов, которые когда-либо видело человечество. Помимо того, что он считается соучредителем математической дисциплины исчисления, его применение математики к физическим наукам проложило путь для новаторского прыжка и прочных идей о поступательном движении (о том, что здесь обсуждается), а также о вращательном движении и круговом движении. движение.
Создав совершенно новую ветвь классической механики, Ньютон разъяснил три основных закона движения частицы.Первый закон Ньютонаутверждает, что объект, движущийся с постоянной скоростью (включая нулевую), останется в этом состоянии, если не будет возмущен несбалансированной внешней силой. На Земле гравитация присутствует практически всегда.Второй закон Ньютонаутверждает, что чистая внешняя сила, приложенная к объекту с массой, заставляет этот объект ускоряться:Fсеть= ма. Третий закон Ньютонапредполагает, что для каждой силы существует сила, равная по величине и противоположная по направлению.