Евклидово расстояние - это расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве. Евклидово пространство было изобретено греческим математиком Евклидом около 300 г. до н. Э. изучить взаимосвязь между углами и расстояниями. Эта система геометрии используется до сих пор и является той, которую чаще всего изучают старшеклассники. Евклидова геометрия особенно применима к пространствам двух и трех измерений. Однако его легко обобщить на измерения более высокого порядка.
Вычислите евклидово расстояние для одного измерения. Расстояние между двумя точками в одном измерении - это просто абсолютная величина разницы между их координатами. Математически это показано как | p1 - q1 | где p1 - первая координата первой точки, а q1 - первая координата второй точки. Мы используем абсолютное значение этой разницы, поскольку обычно считается, что расстояние имеет только неотрицательное значение.
Возьмем две точки P и Q в двумерном евклидовом пространстве. Опишем P координатами (p1, p2), а Q - координатами (q1, q2). Теперь постройте отрезок прямой с концами точек P и Q. Этот отрезок прямой образует гипотенузу прямоугольного треугольника. Продолжая результаты, полученные на шаге 1, отметим, что длины катетов этого треугольника равны | p1 - q1 | и | p2 - q2 |. Тогда расстояние между двумя точками будет указано как длина гипотенузы.
Используйте теорему Пифагора, чтобы определить длину гипотенузы на шаге 2. Эта теорема утверждает, что c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, где c - длина гипотенузы прямоугольного треугольника, а a, b - длины двух других катетов. Это дает нам c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Следовательно, расстояние между двумя точками P = (p1, p2) и Q = (q1, q2) в двумерном пространстве равно ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Распространите результаты шага 3 на трехмерное пространство. Расстояние между точками P = (p1, p2, p3) и Q = (q1, q2, q3) может быть задано как ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Обобщите решение шага 4 для расстояния между двумя точками P = (p1, p2,..., pn) и Q = (q1, q2,..., qn) в n измерениях. Это общее решение можно представить как ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).
