Cum se calculează CG

Înainte de a discuta despre centrul de greutate, să presupunem câțiva parametri. Una, că aveți de-a face cu un obiect aflat la suprafața Pământului, nu în spațiu undeva. Și două, că obiectul este rezonabil de mic - să zicem, nu o navă spațială parcată pe Pământ, care așteaptă să decoleze. Odată ce toate acele influențe extraterestre sunt eliminate, sunteți într-o poziție fină pentru a calcula centrul de greutate pentru obiecte geometrice folosind a formulă relativ simplă - și, de fapt, din cauza acelor condiții tocmai stabilite, veți folosi aceeași formulă pentru a găsi centrul de greutate ca pentru a găsi centrul de masă.

Centrul de greutate într-un plan bidimensional este de obicei notat prin coordonatele (x_cg, y_cg) sau uneori după variabileXșiycu o bară deasupra lor. De asemenea, termenul „centru de greutate” este uneori abreviat cu cg.

Manualul dvs. de matematică sau fizică va avea deseori diagrame pentru a determina centrul de echilibru al anumitor cifre. Dar pentru unele forme geometrice obișnuite, puteți utiliza formula corespunzătoare a centrului de greutate pentru a găsi centrul de greutate al formei respective.

Pentru triunghiuri, centrul de greutate se află în punctul în care toate cele trei mediane se intersectează. Dacă începeți de la un vârf al triunghiului și apoi trageți o linie dreaptă până la punctul de mijloc al celeilalte părți, aceasta este o mediană. Faceți același lucru pentru celelalte două vârfuri, iar punctul în care toate cele trei mediane se intersectează este centrul de greutate al triunghiului.

Și, desigur, există o formulă pentru asta. Dacă coordonatele centrului de greutate al triunghiului sunt (x_cg, y_cg), găsiți coordonatele sale astfel:

Unde (x₁, y₁), (X₂, y₂) și (x₃, y₃) sunt coordonatele celor trei vârfuri ale triunghiului. Trebuie să alegeți care vârf i se atribuie numărul.

Ați observat că, pentru a găsi centrul de greutate pentru un triunghi, doar mediați coordonatele x, apoi mediați valoarea coordonatelor y și utilizați cele două rezultate ca coordonate pentru centrul de greutate?

Pentru a găsi centrul de greutate pentru un dreptunghi, faceți exact același lucru. Dar pentru a vă face calculele și mai ușoare, presupuneți că dreptunghiul este orientat direct către un cartezian planul de coordonate (deci nu este setat la un unghi) și că vârful său stâng inferior se află la originea grafic. În acest caz, pentru a găsi (x_cg, y_cg) pentru un dreptunghi, tot ce trebuie să calculați este:

Dacă nu doriți să vă mutați dreptunghiul la originea planului de coordonate sau dacă din orice motiv nu este exact pătrat cu axele de coordonate, vă puteți confrunta cu această formulă ușor mai înspăimântătoare, dar totuși eficientă, pentru a medie toate coordonatele sale x pentru a găsi valoarea din x_cg, și mediați toate coordonatele y pentru a găsi valoarea lui y_cg:

Ce se întâmplă dacă trebuie să calculați centrul de greutate pentru o formă care se potrivește cu toate ipotezele menționate mai întâi (practic, nu încercați să faceți știință rachetă literală) prin găsirea centrului de greutate pentru obiecte aflate în spațiu), dar nu se încadrează în niciuna dintre categoriile menționate sau în graficele din spatele manual? Apoi vă puteți împărți forma în forme mai familiare și puteți utiliza următoarele ecuații pentru a găsi centrul lor de greutate colectiv:

Sau altfel spus, x_cg este egal cu aria secțiunii de 1 ori locația sa pe axa X, adăugată la zona secțiunii de 2 ori locația sa și așa mai departe până când ați adăugat aria de ori locația tuturor secțiunilor; apoi împărțiți întreaga sumă la suprafața totală a tuturor secțiunilor. Apoi faceți același lucru pentru y.

​Î: Cum găsesc aria fiecărei secțiuni?Împărțirea formei complexe sau neregulate în poligoane mai familiare vă permite să utilizați formule standardizate pentru a găsi zona. De exemplu, dacă ați împărțit forma respectivă în bucăți dreptunghiulare, puteți utiliza formula lungime × lățime pentru a găsi aria fiecărei piese.

​Î: Care este „locația” fiecărei secțiuni?Amplasarea fiecărei secțiuni este coordonata corespunzătoare din centrul de greutate al secțiunii respective. Deci, dacă vrei tu₂ (locația segmentului 2), trebuie să furnizați coordonata y pentru centrul de greutate al segmentului respectiv. Din nou, acesta este motivul pentru care împărțiți un obiect în formă ciudată în forme mai familiare, deoarece puteți utiliza formule deja discutate pentru a găsi centrul de greutate al fiecărei forme și apoi extrage coordonatele corespunzătoare (s).

​Î: Unde merge forma mea pe planul de coordonate?Trebuie să alegeți unde se află forma dvs. pe planul de coordonate - rețineți doar că centrul de greutate al răspunsului dvs. va fi în raport cu același punct de referință. Este cel mai ușor să vă așezați obiectul în primul cadran al graficului, cu marginea inferioară împotriva axei x și marginea stângă împotriva axei y astfel încât toate valorile x și y să fie pozitive, dar și suficient de mici pentru a fi gestionabil.

Dacă aveți de-a face cu un singur obiect, intuiția și puțina logică sunt uneori tot ce aveți nevoie pentru a-i găsi centrul de greutate. De exemplu, dacă aveți în vedere un disc plat, centrul de greutate va fi centrul discului. Într-un cilindru, este punctul de mijloc de pe axa cilindrului. Pentru un dreptunghi (sau pătrat), este punctul în care converg liniile diagonale.

Este posibil să fi observat un model aici: Dacă obiectul în cauză are o linie de simetrie, centrul de greutate va fi pe acea linie. Și dacă are mai multe axe de simetrie, centrul de greutate va fi locul în care acele axe se intersectează.

În cele din urmă, dacă încercați să găsiți centrul de greutate pentru un obiect cu adevărat complex, aveți două opțiuni: Fie să scoateți cele mai bune integrale de calcul (a se vedea Resurse pentru o integrală triplă care reprezintă centrul de greutate pentru o masă neuniformă) sau introduceți datele într-un centru de greutate construit special calculator. (Consultați Resurse pentru un exemplu de calculator pentru centrul de greutate pentru avioane controlate radio.)