Mișcarea proiectiluluise referă la mișcarea unei particule care este transmisă cu o viteză inițială, dar care ulterior nu este supusă niciunei forțe în afară de cea a gravitației.
Aceasta include probleme în care o particulă este aruncată la un unghi între 0 și 90 de grade față de orizontală, orizontală fiind de obicei solul. Pentru comoditate, se presupune că aceste proiectile călătoresc în (X y) avion, cuXreprezentând deplasarea orizontală șiydeplasare verticală.
Calea luată de un proiectil este denumită a satraiectorie. (Rețineți că legătura comună în „proiectil” și „traiectorie” este silaba „-ject”, cuvântul latin pentru „aruncare”. A scoate pe cineva înseamnă a-l arunca literalmente.) Punctul de origine al proiectilului în problemele în care trebuie să calculați traiectoria este de obicei presupus a fi (0, 0) pentru simplitate, cu excepția cazului în care este altfel stabilit.
Traiectoria unui proiectil este o parabolă (sau cel puțin urmărește o porțiune a unei parabole) dacă particula este lansată în așa fel încât să aibă o componentă de mișcare orizontală diferită de zero și să nu existe o rezistență la aer care să afecteze particule.
Ecuațiile cinematice
Variabilele de interes în mișcarea unei particule sunt coordonatele poziției saleXșiy, viteza sav, și accelerarea acestuiaA, totul în raport cu un anumit timp scurstde la începutul problemei (când particula este lansată sau eliberată). Rețineți că omisiunea masei (m) implică faptul că gravitația de pe Pământ acționează independent de această cantitate.
Rețineți, de asemenea, că aceste ecuații ignoră rolul rezistenței aerului, care creează o forță de tracțiune care se opune mișcării în situațiile reale ale Pământului. Acest factor este introdus în cursurile de mecanică de nivel superior.
Variabilele cu indicele „0” se referă la valoarea acelei cantități la un moment datt= 0 și sunt constante; adesea, această valoare este 0 datorită sistemului de coordonate ales, iar ecuația devine mult mai simplă. Accelerarea este tratată ca fiind constantă în aceste probleme (și este în direcția y și egală cu -g,sau–9,8 m / s2, accelerația datorată gravitației de lângă suprafața Pământului).
Mișcare orizontală:
x = x_0 + v_xt
- Termenul
vXeste viteza x constantă.
Mișcare verticală:
y = y_0 + ((v_ {0y} + v_y) / 2) t \\ v_y = v_ {0y} -gt \\ y = y_0 + v_ {0y} t- (1/2) gt ^ 2 \\ v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2-2g (y-y_0)
Exemple de mișcare de proiectil
Cheia pentru a putea rezolva probleme care includ calcule de traiectorie este cunoașterea faptului că componentele orizontale (x) și verticale (y) ale mișcarea poate fi analizată separat, așa cum se arată mai sus, și contribuțiile lor respective la mișcarea generală sunt bine rezumate la sfârșitul problemă.
Problemele de mișcare a proiectilelor sunt considerate probleme de cădere liberă, deoarece, indiferent de aspectul lucrurilor imediat după timpt= 0, singura forță care acționează asupra obiectului în mișcare este gravitația.
- Rețineți că, deoarece gravitația acționează în jos, iar aceasta este considerată a fi direcția y negativă, valoarea accelerației este -g în aceste ecuații și probleme.
Calculele traiectoriei
1. Cei mai rapizi jucători din baseball pot arunca o minge cu puțin peste 100 mile pe oră sau 45 m / s. Dacă o minge este aruncată vertical în sus cu această viteză, cât de mare va ajunge și cât timp va dura pentru a reveni la punctul în care a fost eliberată?
Aicivy0= 45 m / s, -g= –9,8 m / s, iar cantitățile de interes sunt înălțimea finală sauda,și timpul total înapoi pe Pământ. Timpul total este un calcul din două părți: timpul până la y și timpul înapoi până la y0 = 0. Pentru prima parte a problemei,vy,când mingea atinge înălțimea maximă, este 0.
Începeți prin utilizarea ecuațieivy2= v0y2 - 2g (y - y0)și conectarea valorilor pe care le aveți:
0 = (45) ^ 2 - (2) (9.8) (y - 0) = 2.025 - 19.6y \ implică y = 103.3 \ text {m}
Ecuațiavy = v0y - gtarată că timpul t este necesar (45 / 9,8) = 4,6 secunde. Pentru a obține timpul total, adăugați această valoare timpului necesar pentru ca mingea să cadă liber la punctul său de plecare. Aceasta este dată dey = y0 + v0yt - (1/2) gt2, unde acum, pentru că mingea este încă în momentul înainte de a începe să scadă,v0y = 0.
Rezolvare:
103,3 = (1/2) gt ^ 2 \ implică t = 4,59 \ text {s}
Astfel timpul total este de 4,59 + 4,59 = 9,18 secunde. Rezultatul probabil surprinzător că fiecare „picior” al călătoriei, în sus și în jos, a luat același timp subliniază faptul că gravitația este singura forță în joc aici.
2. Ecuația intervalului:Când un proiectil este lansat cu o vitezăv0și un unghi θ față de orizontală, are componente inițiale orizontale și verticale ale vitezeiv0x = v0(cos θ) șiv0y = v0(păcat θ).
pentru căvy = v0y - gt, șivy = 0 când proiectilul atinge înălțimea maximă, timpul până la înălțimea maximă este dat de t =v0y/g. Din cauza simetriei, timpul necesar pentru a reveni la sol (sau y = y0) este pur și simplu 2t = 2v0y/g.
În cele din urmă, combinarea acestora cu relația x =v0xt, distanța orizontală parcursă având un unghi de lansare θ este
R = 2 \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {\ theta} \ cos {\ theta}} {g} = \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {2 \ theta}} {g}
(Pasul final vine de la identitatea trigonometrică 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Deoarece sin2θ este la valoarea sa maximă de 1 când θ = 45 de grade, utilizarea acestui unghi maximizează distanța orizontală pentru o viteză dată la
R = \ frac {v_0 ^ 2} {g}