Rădăcinile unui polinom sunt numite și zero-uri, deoarece rădăcinile suntXvalori la care funcția este egală cu zero. Când vine vorba de a găsi efectiv rădăcinile, aveți la dispoziție mai multe tehnici; factorizarea este metoda pe care o veți folosi cel mai frecvent, deși graficarea poate fi utilă și.
Câte rădăcini?
Examinați termenul de cel mai înalt grad al polinomului - adică termenul cu cel mai mare exponent. Acest exponent este câte rădăcini va avea polinomul. Deci, dacă cel mai mare exponent din polinomul dvs. este 2, acesta va avea două rădăcini; dacă cel mai mare exponent este 3, va avea trei rădăcini; și așa mai departe.
Avertizări
-
Există o captură: rădăcinile unui polinom pot fi reale sau imaginare. Rădăcinile „reale” sunt membri ai setului cunoscut sub numele de numere reale, care în acest moment al carierei tale de matematică este fiecare număr cu care te obișnuiești să te ocupi. Stăpânirea numerelor imaginare este un subiect complet diferit, așa că, deocamdată, amintiți-vă trei lucruri:
- Rădăcinile „imaginare” apar atunci când aveți rădăcina pătrată a unui număr negativ. De exemplu, √ (-9).
- Rădăcinile imaginare vin întotdeauna în perechi.
- Rădăcinile unui polinom pot fi reale sau imaginare. Deci, dacă aveți un polinom de gradul 5, acesta ar putea avea cinci rădăcini reale, ar putea avea trei rădăcini reale și două rădăcini imaginare și așa mai departe.
Găsiți rădăcini prin factorizare: Exemplul 1
Cel mai versatil mod de a găsi rădăcini este să vă calculați polinomul cât mai mult posibil și apoi să setați fiecare termen egal cu zero. Acest lucru are mult mai mult sens după ce ați urmat câteva exemple. Luați în considerare polinomul simpluX2 – 4X:
O scurtă examinare arată că puteți lua în calculXdin ambii termeni ai polinomului, ceea ce vă oferă:
x (x - 4)
Setați fiecare termen la zero. Aceasta înseamnă rezolvarea a două ecuații:
x = 0
este primul termen setat la zero și
x - 4 = 0
este al doilea termen setat la zero.
Aveți deja soluția la primul termen. DacăX= 0, atunci întreaga expresie este egală cu zero. Asa deX= 0 este una dintre rădăcinile sau zero-urile polinomului.
Acum, ia în considerare al doilea termen și rezolvă pentruX. Dacă adăugați 4 la ambele părți, veți avea:
x - 4 + 4 = 0 + 4
ceea ce simplifică:
x = 4
Astfel, dacăX= 4 atunci al doilea factor este egal cu zero, ceea ce înseamnă că tot polinomul este egal cu zero.
Deoarece polinomul original era de gradul al doilea (cel mai mare exponent era doi), știți că există doar două rădăcini posibile pentru acest polinom. Le-ați găsit deja pe amândouă, deci tot ce trebuie să faceți este să le enumerați:
x = 0, x = 4
Găsiți rădăcini prin factorizare: Exemplul 2
Iată încă un exemplu de cum să găsești rădăcini prin factorizare, folosind o algebră fantezie pe parcurs. Luați în considerare polinomulX4 – 16. O privire rapidă la exponenții săi vă arată că ar trebui să existe patru rădăcini pentru acest polinom; acum a venit timpul să le găsim.
Ai observat că acest polinom poate fi rescris ca diferență de pătrate? Deci, în loc deX4 - 16, aveți:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Care, folosind formula pentru diferența de pătrate, are în vedere următoarele:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
Primul termen este, din nou, o diferență de pătrate. Deci, deși nu mai puteți lua în considerare termenul din dreapta, puteți să mai factorizați termenul din stânga cu un singur pas:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Acum este timpul să găsim zero-urile. Devine repede clar că dacăX= 2, primul factor va fi egal cu zero și, astfel, întreaga expresie va fi egală cu zero.
În mod similar, dacăX= −2, al doilea factor va fi egal cu zero și așa va fi și întreaga expresie.
Asa deX= 2 șiX= −2 sunt ambele zerouri sau rădăcini ale acestui polinom.
Dar ce zici de ultimul termen? Deoarece are un exponent „2”, ar trebui să aibă două rădăcini. Dar nu puteți lua în calcul această expresie folosind numerele reale cu care sunteți obișnuiți. Ar trebui să utilizați un concept matematic foarte avansat numit numere imaginare sau, dacă preferați, numere complexe. Acest lucru depășește cu mult domeniul de aplicare al practicii dvs. actuale de matematică, deci deocamdată este suficient să rețineți că aveți două rădăcini reale (2 și -2) și două rădăcini imaginare pe care le veți lăsa nedefinite.
Găsiți rădăcini grafic
Puteți găsi, sau cel puțin estimați, rădăcini prin grafic. Fiecare rădăcină reprezintă un punct în care graficul funcției traverseazăXaxă. Deci, dacă faceți grafic linia și apoi notațiXcoordonatele unde linia treceXaxă, puteți insera valoarea estimatăXvalorile acestor puncte din ecuația dvs. și verificați dacă le-ați corectat.
Luați în considerare primul exemplu pe care l-ați lucrat, pentru polinomX2 – 4X. Dacă îl trageți cu atenție, veți vedea că linia traverseazăXax laX= 0 șiX= 4. Dacă introduceți fiecare dintre aceste valori în ecuația originală, veți obține:
0^2 - 4(0) = 0
asa deX= 0 a fost un zero sau rădăcină valid pentru acest polinom.
4^2 - 4(4) = 0
asa deX= 4 este, de asemenea, un zero sau o rădăcină valabilă pentru acest polinom. Și pentru că polinomul era de gradul 2, știi că poți înceta să cauți după ce găsești două rădăcini.