Ecuațiile sunt adevărate dacă ambele părți sunt aceleași. Proprietățile ecuațiilor ilustrează concepte diferite care mențin ambele părți ale unei ecuații la fel, indiferent dacă adăugați, scădeți, înmulțiți sau împărțiți. În algebră, literele reprezintă cifre pe care nu le cunoașteți, iar proprietățile sunt scrise cu litere pentru a dovedi că, indiferent de numerele pe care le conectați, ele vor fi întotdeauna adevărate. S-ar putea să vă gândiți la aceste proprietăți ca la „reguli de algebră” pe care le puteți folosi pentru a vă ajuta să rezolvați probleme de matematică.
Proprietăți asociative și comutative
Proprietăți asociative și comutative ambele au formule pentru adunare și multiplicare.proprietate comutativă a adunăriispune că dacă adăugați două numere, nu contează în ce ordine le-ați pus. De exemplu, 4 + 5 este același cu 5 + 4. Formula este:
a + b = b + a
Orice număr pentru care vă conectațiAșibva face în continuare proprietatea adevărată.
proprietate comutativă a înmulțiriise citește formula
a × b = b × a
Aceasta înseamnă că atunci când înmulțiți două numere, nu contează ce număr introduceți mai întâi. Veți primi în continuare 10 dacă înmulțiți 2 × 5 sau 5 × 2.
proprietate asociativă a adunăriispune că dacă grupați două numere și le adăugați și apoi adăugați un al treilea număr, nu contează ce grupare utilizați. În formă de formulă, arată
(a + b) + c = a + (b + c)
De exemplu
\ text {if} (2 + 3) + 4 = 9 \ text {atunci} 2 + (3 + 4) = 9
În mod similar, dacă înmulțiți două numere și apoi înmulțiți acel produs cu un al treilea număr, nu contează ce două numere înmulțiți mai întâi. În formă de formulă,proprietate asociativă a multiplicăriise pare ca
(a × b) c = a (b × c)
De exemplu, (2 × 3) 4 simplifică la 6 × 4, care este egal cu 24. Dacă grupați 2 (3 × 4) veți avea 2 × 12, iar acest lucru vă va oferi și 24.
Proprietăți matematice: tranzitive și distributive
proprietate tranzitivăspune că dacăA = bșib = c, atunciA = c. Această proprietate este folosită adesea în substituția algebrică. De exemplu,
\ text {if} 4x - 2 = y \ text {și} y = 3x + 4 \ text {, atunci} 4x - 2 = 3x + 4
Dacă știți că aceste două valori sunt egale una cu cealaltă, puteți rezolva pentruX. Odată ce știiX, puteți rezolva pentruydaca este necesar.
proprietate distributivăvă permite să scăpați de paranteze dacă există un termen în afara lor, cum ar fi 2 (X− 4). Parantezele din matematică indică multiplicarea, iar a distribui ceva înseamnă să le transmiteți. Deci, pentru a utiliza proprietatea distributivă pentru a elimina parantezele, înmulțiți termenul din afara acestora cufiecaretermen în interiorul lor. Deci, ați înmulți 2 șiXpentru a obține 2X, și ați înmulți 2 și −4 pentru a obține −8. Simplificat, arată ca:
2 (x - 4) = 2x - 8
Formula pentru proprietatea distributivă este
a (b + c) = ab + ac
De asemenea, puteți utiliza proprietatea distributivă pentru a extrage un factor comun dintr-o expresie. Această formulă este
ab + ac = a (b + c)
De exemplu, în expresia 3X+ 9, ambii termeni sunt divizibili cu 3. Trageți factorul spre exteriorul parantezelor și lăsați restul în interior: 3 (X + 3).
Proprietățile algebrei pentru numerele negative
proprietate inversă aditivăspune că dacă adăugați un număr cu versiunea sa inversă sau negativă, veți obține zero. De exemplu, −5 + 5 = 0. Într-un exemplu din lumea reală, dacă datorezi cuiva 5 USD și apoi primești 5 USD, tot nu vei avea bani pentru că trebuie să dai acei 5 USD pentru a plăti datoria. Formula este
a + (−a) = 0 = (−a) + a
proprietate inversă multiplicativăspune că dacă înmulțiți un număr cu o fracție cu unul în numărător și acel număr în numitor, veți obține unul:
a × \ frac {1} {a} = 1
Dacă înmulțiți 2 cu 1/2, veți obține 2/2. Orice număr peste sine este întotdeauna 1.
Proprietățile negațieidicta multiplicarea numerelor negative. Dacă înmulțiți un număr negativ și un număr pozitiv, răspunsul dvs. va fi negativ:
(-a) (b) = -ab \ text {și} - (ab) = -ab
Dacă înmulțiți două numere negative, răspunsul dvs. va fi pozitiv:
- (- a) = a \ text {și} (-a) (- b) = ab
Dacă aveți un negativ în afara unei paranteze, respectivul negativ este atașat unui 1 invizibil. Că -1 este distribuit la fiecare termen din paranteze. Formula este
- (a + b) = (-a) + (-b) = - a - b
De exemplu
- (x - 3) = -x + 3
deoarece înmulțirea −1 și −3 vă va oferi 3.
Proprietățile zero
identitate proprietate a adaosuluiafirmă că, dacă adăugați orice număr și zero, veți obține numărul original:
a + 0 = a
De exemplu,
4 + 0 = 4
proprietate multiplicativă de zeroafirmă că atunci când înmulțiți orice număr cu zero, veți obține întotdeauna zero:
a × 0 = 0
De exemplu
4 × 0 = 0
Folosindzero proprietate produs,poți ști sigur că dacă produsul a două numere este zero, atunci unul dintre multipli este zero. Formula afirmă că
\ text {if} ab = 0 \ text {, atunci} a = 0 \ text {sau} b = 0
Proprietățile egalităților
Proprietățile egalităților afirmă că ceea ce faceți pentru o parte a ecuației, trebuie să faceți pentru cealaltă.adăugarea proprietății egalitățiiafirmă că, dacă aveți un număr pe o parte, trebuie să îl adăugați la cealaltă. De exemplu,
\ text {if} 5 + 2 = 3 + 4 \ text {, atunci} 5 + 2 + 3 = 3 + 4 + 3
proprietate de scădere a egalitățiiafirmă că, dacă scazi un număr dintr-o parte, trebuie să o scazi din cealaltă. De exemplu,
\ text {if} x + 2 = 2x - 3 \ text {, atunci} x + 2 - 1 = 2x - 3 - 1
Acest lucru ți-ar da
x + 1 = 2x - 4
șiXar fi egal cu 5 în ambele ecuații.
proprietate de multiplicare a egalitățiiafirmă că, dacă înmulțiți un număr pe o parte, trebuie să îl înmulțiți cu cealaltă. Această proprietate vă permite să rezolvați ecuații de diviziune. De exemplu, dacă
\ frac {x} {4} = 2
înmulțiți ambele părți cu 4 pentru a obțineX = 8.
divizarea proprietății egalitățiivă permite să rezolvați ecuații de multiplicare, deoarece ceea ce împărțiți pe o parte, trebuie să împărțiți pe cealaltă. De exemplu, împărțiți
2x = 8
cu 2 pe ambele părți, cedând
x = 4