Rezolvarea inegalităților valorii absolute este la fel ca rezolvarea ecuațiilor valorii absolute, dar există câteva detalii suplimentare de care să ții cont. Vă ajută să fiți deja confortabil rezolvând ecuații de valoare absolută, dar este bine dacă le învățați și împreună!
Definiția inegalității valorii absolute
În primul rând, uninegalitatea valorii absoluteeste o inegalitate care implică o exprimare a valorii absolute. De exemplu,
| 5 + x | - 10> 6
este o inegalitate a valorii absolute, deoarece are un semn de inegalitate,>, și o expresie a valorii absolute, | 5 +X |.
Cum se rezolvă o inegalitate de valoare absolută
pași spre rezolvarea unei inegalități de valoare absolutăseamănă cu pașii pentru rezolvarea unei ecuații a valorii absolute:
Pasul 1:Izolați expresia valorii absolute pe o parte a inegalității.
Pasul 2:Rezolvați „versiunea” pozitivă a inegalității.
Pasul 3:Rezolvați „versiunea” negativă a inegalității înmulțind cantitatea de cealaltă parte a inegalității cu −1 și răsucind semnul inegalității.
Este mult de luat în același timp, așa că iată un exemplu care vă va ajuta să parcurgeți pașii.
Rezolvați inegalitatea pentruX:
| 5 + 5x | - 3> 2
Pentru a face acest lucru, obține | 5 + 5X| de la sine pe partea stângă a inegalității. Tot ce trebuie să faceți este să adăugați câte 3 pe fiecare parte:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Acum există două „versiuni” ale inegalității pe care trebuie să le rezolvăm: „versiunea” pozitivă și „versiunea” negativă.
Pentru acest pas, vom presupune că lucrurile sunt așa cum apar: că 5 + 5X > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Aceasta este o inegalitate simplă; trebuie doar să rezolvați pentruXca de obicei. Scădeți 5 din ambele părți, apoi împărțiți ambele părți la 5.
\ begin {align} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(scade cinci din ambele părți)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(împărțiți ambele părți la cinci)} \\ & x> 0 \ end {align}
Nu-i rău! Deci, o soluție posibilă la inegalitatea noastră este aceeaX> 0. Acum, deoarece există valori absolute implicate, este timpul să luați în considerare o altă posibilitate.
Pentru a înțelege următorul bit, vă ajută să vă amintiți ce înseamnă valoarea absolută.Valoare absolutămăsoară distanța unui număr de la zero. Distanța este întotdeauna pozitivă, deci 9 este la nouă unități distanță de zero, dar −9 este, de asemenea, la nouă unități distanță de zero.
Deci | 9 | = 9, dar | −9 | = 9 la fel.
Revenim la problema de mai sus. Lucrarea de mai sus a arătat că | 5 + 5X| > 5; cu alte cuvinte, valoarea absolută a „ceva” este mai mare decât cinci. Acum, orice număr pozitiv mai mare de cinci va fi mai departe de zero decât este cinci. Așadar, prima opțiune a fost acel „ceva”, 5 + 5X, este mai mare de 5.
Acesta este:
5 + 5x> 5
Acesta este scenariul abordat mai sus, la Pasul 2.
Acum gândiți-vă puțin mai departe. Ce altceva se află la cinci unități de zero? Ei bine, negativul cinci este. Și orice mai departe de-a lungul liniei numerice de la negativul cinci va fi și mai departe de zero. Deci „ceva” nostru ar putea fi un număr negativ care este mai departe de zero decât negativul cinci. Asta înseamnă că ar fi un număr mai mare, dar din punct de vedere tehnicmai puțin decâtnegativ cinci pentru că se mișcă în direcția negativă pe linia numerică.
Deci „ceva” nostru, 5 + 5x, ar putea fi mai mic de −5.
5 + 5x
Modul rapid de a face acest lucru algebric este de a înmulți cantitatea de pe cealaltă parte a inegalității, 5, cu una negativă, apoi răsuciți semnul inegalității:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Apoi rezolvați ca de obicei.
\ begin {align} & 5 + 5x
Deci, cele două soluții posibile la inegalitate suntX> 0 sauX< −2. Verificați-vă conectând câteva soluții posibile pentru a vă asigura că inegalitatea rămâne adevărată.
Inegalități de valoare absolută fără soluție
Există un scenariu în care ar existafără soluții la o inegalitate de valoare absolută. Deoarece valorile absolute sunt întotdeauna pozitive, ele nu pot fi egale sau mai mici decât numerele negative.
Deci |X| Nici o soluțiedeoarece rezultatul unei expresii de valoare absolută trebuie să fie pozitiv.
Notare pe intervale
Pentru a scrie soluția la exemplul nostru principal înnotație de interval, gândiți-vă cum arată soluția pe linia numerică. Soluția noastră a fostX> 0 sauX< −2. Pe o linie numerică, acesta este un punct deschis la 0, cu o linie care se extinde la infinit pozitiv și un punct deschis la -2, cu o linie care se extinde până la infinit negativ. Aceste soluții sunt îndepărtate una de cealaltă, nu una față de cealaltă, deci luați fiecare piesă separat.
Pentru x> 0 pe o linie numerică, există un punct deschis la zero și apoi o linie care se extinde până la infinit. În notația de interval, un punct deschis este ilustrat cu paranteze, (), iar un punct închis, sau inegalități cu ≥ sau ≤, ar folosi paranteze, []. Prin urmareX> 0, scrieți (0, ∞).
Cealalta jumatate,X
„Sau” în notație de interval este semnul uniunii, ∪.
Deci soluția în notație de interval este
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)