Toți studenții la matematică și mulți studenți la științe întâlnesc polinoame la un moment dat în timpul studiilor, dar din fericire sunt ușor de tratat odată ce ați învățat elementele de bază. Principalele operațiuni pe care va trebui să le faceți cu expresiile polinomiale sunt adăugarea, scăderea, multiplicarea și împărțirea și, deși împărțirea poate fi complexă, de cele mai multe ori veți putea gestiona elementele de bază uşura.
Polinoame: definiție și exemple
Polinom descrie o expresie algebrică cu unul sau mai mulți termeni care implică o variabilă (sau mai mulți), cu exponenți și, eventual, constante. Nu pot include diviziunea cu o variabilă, nu pot avea exponenți negativi sau fracționați și trebuie să aibă un număr finit de termeni.
Acest exemplu arată un polinom:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
Și aceasta arată un altul:
xy ^ 2 - 3 x + y
Există multe modalități de clasificare a polinoamelor, inclusiv în funcție de grad (suma exponenților pe cel mai mare termen de putere, de exemplu 3 în primul exemplu) și prin numărul de termeni pe care îi conțin, cum ar fi monomii (un termen), binomii (doi termeni) și trinomii (trei termeni).
Adăugarea și scăderea polinoamelor
Adăugarea și scăderea polinoamelor depinde de combinarea termenilor „like”. Un termen similar este unul cu aceleași variabile și exponenți ca altul, dar numărul cu care sunt înmulțiți (coeficientul) poate fi diferit. De exemplu,X2 și 4X 2 sunt ca niște termeni deoarece au aceeași variabilă și exponent și 2X y 4 și 6X y 4 sunt ca și termeni. In orice caz,X2, X3, X2y2 șiy2 nu sunt ca termenii, deoarece fiecare conține combinații diferite de variabile și exponenți.
Adăugați polinoame prin combinarea termenilor similari în același mod în care ați face cu alți termeni algebrici. De exemplu, priviți problema:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Colectați acești termeni pentru a obține:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
Și apoi evaluați prin simpla adunare a coeficienților și combinarea într-un singur termen:
10 x ^ 3 + 5 x + y
Rețineți că nu puteți face nimic cuypentru că nu are un termen asemănător.
Scăderea funcționează în același mod:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Mai întâi, rețineți că toți termenii din parantezul din dreapta sunt scăzuți din cei din parantezul din stânga, deci scrieți-l ca:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Combinați termeni similari și evaluați pentru a obține:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
Pentru o astfel de problemă:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Rețineți că semnul minus se aplică întregii expresii din paranteză dreaptă, deci cele două semne negative înainte de 3X2 deveniți un semn de adăugare:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
Apoi calculați ca înainte.
Multiplicarea expresiilor polinomiale
Înmulțiți expresiile polinomiale utilizând proprietatea distributivă a multiplicării. Pe scurt, înmulțiți fiecare termen din primul polinom cu fiecare termen din cel de-al doilea. Uită-te la acest exemplu simplu:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Rezolvați acest lucru folosind proprietatea distributivă, deci:
\ begin {align} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ end {align}
Abordați problemele mai complicate în același mod:
\ begin {align} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {align}
Aceste probleme se pot complica pentru grupări mai mari, dar procesul de bază este în continuare același.
Împărțirea expresiilor polinomiale
Împărțirea expresiilor polinomiale durează mai mult, dar o puteți aborda în etape. Uită-te la expresia:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Mai întâi, scrieți expresia ca o diviziune lungă, cu divizorul în stânga și dividendul în dreapta:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
Împarte primul termen din dividend la primul termen din divizor și pune rezultatul pe linia de deasupra diviziunii. În acest caz,X2 ÷ X = X, asa de:
\ begin {align} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {align}
Înmulțiți acest rezultat cu întregul divizor, deci în acest caz, (X + 2) × X = X2 + 2 X. Puneți acest rezultat sub divizie:
\ begin {align} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {align}
Scădeți rezultatul pe noua linie din termenii de deasupra acestuia (rețineți că în mod tehnic schimbați semnul, deci dacă ați avut un rezultat negativ, l-ați adăuga în loc) și puneți-l pe o linie sub acesta. Mutați și termenul final din dividendul original.
\ begin {align} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {align}
Acum repetați procesul cu divizorul și noul polinom pe linia de jos. Deci împărțiți primul termen al divizorului (X) până la primul termen al dividendului (−5X) și puneți acest lucru mai sus:
\ begin {align} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {align}
Înmulțiți acest rezultat (−5X ÷ X= −5) de divizorul original (deci (X + 2) × −5 = −5 X−10) și puneți rezultatul pe o nouă linie de fund:
\ begin {align} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ end {align}
Apoi scădeți linia de jos din următoarea în sus (deci în acest caz schimbați semnul și adăugați) și puneți rezultatul pe o nouă linie de jos:
\ begin {align} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {align}
Deoarece acum există un rând de zerouri în partea de jos, procesul este terminat. Dacă au rămas termeni diferiți de zero, ați repeta procesul din nou. Rezultatul este pe linia de sus, deci:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Această diviziune și unele altele pot fi rezolvate mai simplu, dacă puteți factorul polinomului în dividend.