Învățarea de a face față exponenților face parte integrantă din orice educație matematică, dar din fericire regulile pentru înmulțirea și împărțirea acestora se potrivesc cu regulile exponenților non-fracționari. Primul pas pentru a înțelege cum să faceți față exponenților fracționari este să obțineți o descriere a ceea ce sunt exact, și apoi puteți analiza modalitățile prin care puteți combina exponenții atunci când sunt înmulțiți sau împărțiți și aceștia au același lucru baza. Pe scurt, adăugați exponenții la înmulțire și scăpați unul de la celălalt atunci când împărțiți, cu condiția să aibă aceeași bază.
TL; DR (Prea lung; Nu am citit)
Înmulțiți termenii cu exponenți folosind regula generală:
XA + Xb = X(A + b)
Și împărțiți termenii cu exponenții folosind regula:
XA ÷ Xb = X(A – b)
Aceste reguli funcționează cu orice expresie în loculAșib, chiar fracții.
Ce sunt exponenții fracționari?
Exponenții fracționari oferă un mod compact și util de exprimare a pădurilor, a cubului și a rădăcinilor superioare. Numitorul de pe exponent vă spune ce rădăcină a numărului „de bază” reprezintă termenul. Într-un termen ca
XA, tu suniXbaza șiAexponentul. Deci, un exponent fracționat vă spune:x ^ {1/2} = \ sqrt {x}
Numitorul a două de pe exponent vă spune că luați rădăcina pătrată aXîn această expresie. Aceeași regulă de bază se aplică rădăcinilor superioare:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
Și
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
Acest tipar continuă. Pentru un exemplu concret:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
Și
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Reguli ale componentelor fracțiunii: înmulțirea exponenților fracționari cu aceeași bază
Înmulțiți termenii cu exponenți fracționați (cu condiția să aibă aceeași bază) prin adunarea exponenților. De exemplu:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
De candX1/3 înseamnă „rădăcina cubică aX, ”Are perfect sens că acest lucru înmulțit de la sine de două ori dă rezultatulX. De asemenea, puteți întâlni exemple precumX1/3 × X1/3, dar vă ocupați de acestea exact în același mod:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
Faptul că expresia de la sfârșit este încă un exponent fracționat nu face o diferență în proces. Acest lucru poate fi simplificat dacă observați căX2/3 = (X1/3)2 = ∛X2. Cu o astfel de expresie, nu contează dacă luați mai întâi rădăcina sau puterea. Acest exemplu ilustrează cum să le calculăm:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
Deoarece rădăcina cubului 8 este ușor de rezolvat, abordați acest lucru după cum urmează:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
Deci asta înseamnă:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
De asemenea, puteți întâlni produse de exponenți fracționali cu numere diferite în numitorii fracțiilor și puteți adăuga acești exponenți în același mod în care ați adăuga alte fracții. De exemplu:
\ begin {align} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ end {align}
Acestea sunt toate expresii specifice regulii generale pentru înmulțirea a două expresii cu exponenți:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
Reguli ale componentelor fracțiunii: împărțirea exponenților fracționari cu aceeași bază
Abordați diviziunile a două numere cu exponenți fracționari scăzând exponentul pe care îl împărțiți (divizorul) cu cel pe care îl împărțiți (dividendul). De exemplu:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
Acest lucru are sens, deoarece orice număr împărțit la sine este egal cu unul, iar acest lucru este de acord cu rezultatul standard că orice număr crescut la o putere de 0 este egal cu unul. Următorul exemplu folosește numerele ca baze și exponenți diferiți:
\ begin {align} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ end {align}
Ceea ce puteți vedea și dacă observați că 161/2 = 4 și 161/4 = 2.
Ca și în cazul înmulțirii, puteți ajunge și la exponenți fracționali care au un număr diferit de unul în numerator, dar vă ocupați de aceștia în același mod.
Acestea exprimă pur și simplu regula generală pentru divizarea exponenților:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(a - b)}
Multiplicarea și împărțirea exponenților fracționari în diferite baze
Dacă bazele termenilor sunt diferite, nu există o modalitate ușoară de a multiplica sau împărți exponenții. În aceste cazuri, calculați pur și simplu valoarea termenilor individuali și apoi efectuați operația necesară. Singura excepție este dacă exponentul este același, caz în care le puteți înmulți sau împărți astfel:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4