Ce sunt numerele reale?

Numerele reale sunt toate numerele de pe o linie numerică care se extinde de la infinit negativ până la zero la infinit pozitiv. Această construcție a setului de numere reale nu este arbitrară, ci mai degrabă rezultatul unei evoluții din numerele naturale utilizate pentru numărare. Sistemul numerelor naturale are mai multe inconsecvențe și, pe măsură ce calculele au devenit mai complexe, sistemul numeric s-a extins pentru a aborda limitările sale. Cu numerele reale, calculele dau rezultate consistente și există puține excepții sau limitări, cum ar fi cele prezentate în versiunile mai primitive ale sistemului numeric.

TL; DR (Prea lung; Nu am citit)

Setul de numere reale este format din toate numerele de pe o linie numerică. Aceasta include numere naturale, numere întregi, numere întregi, numere raționale și numere iraționale. Nu include numere imaginare sau numere complexe.

Închiderea este proprietatea unui set de numere, ceea ce înseamnă că, dacă calculele permise sunt efectuate pe numere care sunt membre ale mulțimii, răspunsurile vor fi și numere care sunt membre ale mulțimii. Se spune că setul este închis.

Numerele naturale sunt numerele de numărare, 1, 2, 3..., iar setul numerelor naturale nu este închis. Deoarece numerele naturale erau folosite în comerț, au apărut imediat două probleme. În timp ce numerele naturale au numărat obiecte reale, de exemplu vaci, dacă un fermier avea cinci vaci și vândea cinci vaci, nu a existat un număr natural pentru rezultat. Primele sisteme numerice au dezvoltat foarte repede un termen pentru zero pentru a rezolva această problemă. Rezultatul a fost sistemul numerelor întregi, care sunt numerele naturale plus zero.

A doua problemă a fost, de asemenea, asociată cu scăderea. Atâta timp cât numerele au numărat obiecte reale, cum ar fi vacile, fermierul nu a putut vinde mai multe vaci decât el. Dar când numerele au devenit abstracte, scăderea numerelor mai mari din cele mai mici a dat răspunsuri în afara sistemului numerelor întregi. Ca urmare, s-au introdus numere întregi, care sunt numerele întregi plus numerele naturale negative. Sistemul numeric include acum o linie numerică completă, dar numai cu numere întregi.

Calculele într-un sistem numeric închis ar trebui să ofere răspunsuri din cadrul sistemului numeric pentru operații cum ar fi adunarea și multiplicarea, dar și pentru operațiile lor inverse, scăderea și Divizia. Sistemul numerelor întregi este închis pentru adunare, scădere și multiplicare, dar nu pentru divizare. Dacă un număr întreg este împărțit la un alt număr întreg, rezultatul nu este întotdeauna un număr întreg.

Împărțirea unui număr întreg mic cu unul mai mare dă o fracție. Astfel de fracții au fost adăugate la sistemul numeric ca numere raționale. Numerele raționale sunt definite ca orice număr care poate fi exprimat ca un raport de două numere întregi. Orice număr zecimal arbitrar poate fi exprimat ca un număr rațional. De exemplu 2.864 este 2864/1000 și 0.89632 este 89632 / 100.000. Linia numerică părea acum completă.

Există numere pe linia numerică care nu pot fi exprimate ca o fracție de numere întregi. Unul este raportul dintre laturile unui triunghi unghiular și hipotenuză. Dacă două dintre laturile unui triunghi unghiular sunt 1 și 1, hipotenuza este rădăcina pătrată a lui 2. Rădăcina pătrată a doi este o zecimală infinită care nu se repetă. Astfel de numere sunt numite iraționale și includ toate numerele reale care nu sunt raționale. Cu această definiție, linia numerică a tuturor numerelor reale este completă, deoarece orice alt număr real care nu este rațional este inclus în definiția irațională.

Deși se spune că linia numerică reală se extinde de la infinit negativ la pozitiv, infinitul în sine nu este un număr real, ci mai degrabă un concept al sistemului numeric care îl definește ca fiind o cantitate mai mare decât oricare număr. Infinitul matematic este răspunsul la 1 / x, deoarece x ajunge la zero, dar împărțirea la zero nu este definită. Dacă infinitul ar fi un număr, ar duce la contradicții, deoarece infinitul nu respectă legile aritmeticii. De exemplu, infinitul plus 1 este încă infinit.

Mulțimea numerelor reale este închisă pentru adunare, scădere, înmulțire și divizare, cu excepția diviziunii cu zero, care nu este definită. Setul nu este închis pentru cel puțin o altă operație.

Regulile înmulțirii din mulțimea numerelor reale specifică faptul că înmulțirea unui negativ și a numărul pozitiv dă un număr negativ în timp ce înmulțirea numerelor pozitive sau negative dă pozitiv răspunsuri. Aceasta înseamnă că cazul special al înmulțirii unui număr în sine produce un număr pozitiv atât pentru numerele pozitive, cât și pentru cele negative. Inversul acestui caz special este rădăcina pătrată a unui număr pozitiv, oferind atât un răspuns pozitiv, cât și unul negativ. Pentru rădăcina pătrată a unui număr negativ, nu există un răspuns în mulțimea numerelor reale.

Conceptul setului de numere imaginare abordează problema rădăcinilor pătrate negative în numerele reale. Rădăcina pătrată a minus 1 este definită ca i și toate numerele imaginare sunt multipli ai lui i. Pentru a completa teoria numerelor, setul de numere complexe este definit ca incluzând toate numerele reale și imaginare. Numerele reale pot continua să fie vizualizate pe o linie numerică orizontală, în timp ce numerele imaginare sunt o linie numerică verticală, cu cele două intersecții la zero. Numerele complexe sunt puncte în planul celor două linii numerice, fiecare cu o componentă reală și una imaginară.