Rezolvarea funcțiilor polinomiale este o abilitate esențială pentru oricine studiază matematică sau fizică, dar abordarea procesului - mai ales când vine vorba de funcții de ordin superior - poate fi destul de dificilă. O funcție cubică este unul dintre cele mai provocatoare tipuri de ecuații polinomiale pe care trebuie să le rezolvați manual. Deși s-ar putea să nu fie la fel de simplu ca rezolvarea unei ecuații pătratice, există câteva metode puteți utiliza pentru a găsi soluția la o ecuație cubică fără a recurge la pagini și pagini de detaliu algebră.
Ce este o funcție cubică?
O funcție cubică este un polinom de gradul trei. O funcție polinomială generală are forma:
f (x) = ax ^ n + bx ^ {n-1} + cx ^ {n-2}... vx ^ 3 + wx ^ 2 + zx + k
Aici, X este variabila, n este pur și simplu orice număr (și gradul polinomului), k este o constantă, iar celelalte litere sunt coeficienți constanți pentru fiecare putere a X. Deci o funcție cubică are n = 3, și este pur și simplu:
f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx ^ 1 + d
Unde, în acest caz, d este constanta. În general, atunci când trebuie să rezolvați o ecuație cubică, vi se va prezenta aceasta sub forma:
ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx ^ 1 + d = 0
Fiecare soluție pentru X se numește „rădăcină” a ecuației. Ecuațiile cubice au fie o rădăcină reală, fie trei, deși pot fi repetate, dar există întotdeauna cel puțin o soluție.
Tipul de ecuație este definit de cea mai mare putere, deci, în exemplul de mai sus, nu ar fi o ecuație cubică dacă a = 0, deoarece cel mai mare termen de putere ar fi bx2 și ar fi o ecuație pătratică. Aceasta înseamnă că următoarele sunt toate ecuațiile cubice:
2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 6x −9 = 0 \\ x ^ 3 −9x + 1 = 0 \\ x ^ 3 −15x ^ 2 = 0
Rezolvarea folosind teorema factorului și diviziunea sintetică
Cel mai simplu mod de a rezolva o ecuație cubică implică un pic de presupuneri și un tip algoritmic de proces numit diviziune sintetică. Totuși, începutul este practic același cu metoda de încercare și eroare pentru soluțiile de ecuație cubică. Încercați să aflați care este una dintre rădăcini ghicind. Dacă aveți o ecuație în care primul coeficient, A, este egal cu 1, atunci este puțin mai ușor să ghiciți una dintre rădăcini, deoarece acestea sunt întotdeauna factori ai termenului constant reprezentat mai sus de d.
Deci, uitându-ne la următoarea ecuație, de exemplu:
x ^ 3 - 5x ^ 2 - 2x + 24 = 0
Trebuie să ghiciți una dintre valorile pentru X, dar de atunci A = 1 în acest caz știți că, indiferent de valoare, trebuie să fie un factor de 24. Primul astfel de factor este 1, dar acest lucru ar lăsa:
1 – 5 – 2 + 24 = 18
Care nu este zero și -1 ar părăsi:
−1 – 5 + 2 + 24 = 20
Care din nou nu este zero. Următorul, X = 2 ar da:
8 – 20 – 4 + 24 = 8
Un alt eșec. Încercând X = −2 dă:
−8 – 20 + 4 + 24 = 0
Asta înseamnă X = −2 este o rădăcină a ecuației cubice. Aceasta arată avantajele și dezavantajele metodei de încercare și eroare: puteți obține răspunsul fără prea mult gândit, dar consumă mult timp (mai ales dacă trebuie să mergi la factori superiori înainte de a găsi o rădăcină). Din fericire, când ați găsit o rădăcină, puteți rezolva cu ușurință restul ecuației.
Cheia este încorporarea teoremei factorilor. Aceasta afirmă că dacă X = s este o soluție, atunci (X – s) este un factor care poate fi scos din ecuație. Pentru această situație, s = −2, și așa (X + 2) este un factor pe care îl putem scoate pentru a părăsi:
(x + 2) (x ^ 2 + ax + b) = 0
Termenii din al doilea grup de paranteze au forma unei ecuații pătratice, deci dacă găsiți valorile potrivite pentru A și b, ecuația poate fi rezolvată.
Acest lucru poate fi realizat folosind diviziunea sintetică. În primul rând, scrieți coeficienții ecuației inițiale pe rândul superior al unui tabel, cu o linie despărțitoare și apoi rădăcina cunoscută în dreapta:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & & \\ \ hline & & & & \ end {array}
Lăsați un rând de rezervă, apoi adăugați o linie orizontală sub acesta. Mai întâi, luați primul număr (1 în acest caz) până la rândul de sub linia orizontală
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & & \\ \ hline 1 & & & & \ end {array }
Acum înmulțiți numărul pe care tocmai l-ați redus cu rădăcina cunoscută. În acest caz, 1 × −2 = −2, iar acest lucru este scris sub numărul următor din listă, după cum urmează:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & \\ \ hline 1 & & & & \ end {matrice}
Apoi adăugați numerele din a doua coloană și puneți rezultatul sub linia orizontală:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & \\ \ hline 1 & -7 & & & \ end {array}
Acum repetați procesul pe care tocmai l-ați parcurs cu noul număr sub linia orizontală: Înmulțiți cu rădăcină, puneți răspunsul în spațiul gol din coloana următoare, apoi adăugați coloana pentru a obține un număr nou pe randul de jos. Aceasta lasă:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & &\\ hline 1 & -7 & 12 & & \ end {array}
Și apoi parcurgeți procesul o dată finală.
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \ hline 1 & -7 & 12 & 0 & \ end {array}
Faptul că ultimul răspuns este zero îți spune că ai o rădăcină validă, deci dacă aceasta nu este zero, atunci ai făcut o greșeală undeva.
Acum, rândul de jos vă arată factorii celor trei termeni din al doilea set de paranteze, astfel încât să puteți scrie:
(x ^ 2 - 7x + 12) = 0
Așadar:
(x + 2) (x ^ 2 - 7x + 12) = 0
Aceasta este cea mai importantă etapă a soluției și puteți finaliza din acest moment în mai multe moduri.
Factorizarea polinoamelor cubice
După ce ați eliminat un factor, puteți găsi o soluție folosind factorizarea. Din pasul de mai sus, aceasta este practic aceeași problemă cu factorizarea unei ecuații pătratice, care poate fi o provocare în unele cazuri. Cu toate acestea, pentru expresia:
(x ^ 2 - 7x + 12)
Dacă vă amintiți că cele două numere pe care le-ați pus între paranteze trebuie să le adăugați pentru a da al doilea coeficient (7) și să le înmulțiți pentru a da al treilea (12), este destul de ușor să vedeți acest lucru în acest caz:
(x ^ 2 - 7x + 12) = (x - 3) (x - 4)
Puteți înmulți acest lucru pentru a verifica, dacă doriți. Nu vă simțiți descurajați dacă nu puteți vedea factorizarea imediat; este nevoie de un pic de practică. Aceasta lasă ecuația inițială astfel:
(x + 2) (x - 3) (x - 4) = 0
Ceea ce puteți vedea imediat are soluții la X = −2, 3 și 4 (toți sunt factori de 24, constanta originală). În teorie, poate fi, de asemenea, posibil să vedem întreaga factorizare pornind de la versiunea originală a ecuației, dar acest lucru este mult mai provocator, deci este mai bine să găsiți o soluție de încercare și eroare și să utilizați abordarea de mai sus înainte de a încerca să identificați un factorizarea.
Dacă vă luptați pentru a vedea factorizarea, puteți utiliza formula ecuației pătratice:
x = {- b \ pm \ sqrt {b ^ 2 - 4ac} \ above {1pt} 2a}
Pentru a găsi soluțiile rămase.
Folosind Formula Cubică
Deși este mult mai mare și mai puțin simplu de tratat, există un simplu rezolvator de ecuații cubice sub forma formulei cubice. Aceasta este ca formula ecuației pătratice în care tocmai introduceți valorile A, b, c și d pentru a obține o soluție, dar este mult mai lungă.
Se afirmă că:
x = (q + [q ^ 2 + (r − p ^ 2) ^ 3] ^ {1/2}) ^ {1/3} + (q - [q ^ 2 + (r − p ^ 2) ^ 3] ^ {1/2}) ^ {1/3} + p
Unde
p = {−b \ above {1pt} 3a}
q = p ^ 3 + {bc − 3ad \ above {1pt} 6a ^ 2}
și
r = {c \ above {1pt} 3a}
Folosirea acestei formule consumă mult timp, dar dacă nu doriți să utilizați metoda de încercare și eroare pentru soluțiile de ecuație cubică și apoi formula pătratică, acest lucru funcționează când parcurgeți totul.