Algebra implică adesea simplificarea expresiilor, dar unele expresii sunt mai confuze decât altele. Numerele complexe implică cantitatea cunoscută sub numele deeu, un număr „imaginar” cu proprietateaeu= √−1. Dacă trebuie să pur și simplu o expresie care implică un număr complex, ar putea părea descurajantă, dar este un proces destul de simplu odată ce ați învățat regulile de bază.
TL; DR (Prea lung; Nu am citit)
Simplificați numerele complexe urmând regulile algebrei cu numere complexe.
Ce este un număr complex?
Numerele complexe sunt definite prin includerea loreutermen, care este rădăcina pătrată a minus unu. În matematica de bază, rădăcinile pătrate ale numerelor negative nu există cu adevărat, dar apar uneori în probleme de algebră. Forma generală pentru un număr complex arată structura lor:
z = a + bi
Undezetichetează numărul complex,Areprezintă orice număr (numit partea „reală”) șibreprezintă un alt număr (numit partea „imaginară”), ambele putând fi pozitive sau negative. Deci un exemplu de număr complex este:
z = 2 −4i
Deoarece toate rădăcinile pătrate ale numerelor negative pot fi reprezentate prin multipli aieu, aceasta este forma pentru toate numerele complexe. Din punct de vedere tehnic, un număr regulat descrie doar un caz special al unui număr complex în careb= 0, deci toate numerele ar putea fi considerate complexe.
Reguli de bază pentru algebră cu numere complexe
Pentru a adăuga și scădea numere complexe, pur și simplu adăugați sau scădeți părțile reale și imaginare separat. Deci pentru numerele complexez = 2 – 4eușiw = 3 + 5eu, suma este:
\ begin {align} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {align}
Scăderea numerelor funcționează în același mod:
\ begin {align} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ end {align }
Înmulțirea este o altă operație simplă cu numere complexe, deoarece funcționează ca înmulțirea obișnuită, cu excepția cazului în care trebuie să vă amintiți astaeu2 = −1. Deci, pentru a calcula 3eu × −4eu:
3i × -4i = -12i ^ 2
Dar de atuncieu2= −1, apoi:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
Cu numere complexe complete (folosindz = 2 – 4eușiw = 3 + 5eudin nou), le înmulțiți în același mod în care ați face cu numere obișnuite precum (A + b) (c + d), folosind metoda „primul, interior, exterior, ultimul” (FOIL), pentru a da (A + b) (c + d) = ac + bc + anunț + bd. Tot ce trebuie să vă amintiți este să simplificați orice caz deeu2. Deci, de exemplu:
\ begin {align} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ end {align}
Împărțirea numerelor complexe
Împărțirea numerelor complexe implică înmulțirea numărătorului și numitorului fracției cu conjugatul complex al numitorului. Conjugat complex înseamnă doar versiunea numărului complex cu partea imaginară inversată în semn. Prin urmarez = 2 – 4eu, conjugatul complexz = 2 + 4eu, si pentruw = 3 + 5eu, w = 3 −5eu. Pentru problemă:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Conjugatul necesar estew*. Împărțiți numeratorul și numitorul cu acesta pentru a da:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
Și apoi lucrezi ca în secțiunea anterioară. Numeratorul oferă:
\ begin {align} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ end {align}
Și numitorul dă:
\ begin {align} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ end {align}
Asta înseamnă:
\ begin {align} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {align}
Simplificarea numerelor complexe
Folosiți regulile de mai sus după cum este necesar pentru a simplifica expresiile complexe. De exemplu:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
Acest lucru poate fi simplificat prin utilizarea regulii de adunare în numărător, a regulii de înmulțire în numitor și apoi completarea diviziunii. Pentru numărător:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Pentru numitor:
\ begin {align} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ end {align}
Punerea la loc a acestora oferă:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Înmulțirea ambelor părți cu conjugatul numitorului conduce la:
\ begin {align} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {align}
Deci asta înseamnăzsimplifică după cum urmează:
\ begin {align} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {align}