Fiecare student la algebră la niveluri superioare trebuie să învețe să rezolve ecuații pătratice. Acestea sunt un tip de ecuație polinomială care include o putere de 2, dar nici una mai mare, și au forma generală:topor2 + bx + c= 0. Le puteți rezolva folosind formula ecuației pătratice, factorizând sau completând pătratul.
TL; DR (Prea lung; Nu am citit)
Mai întâi căutați o factorizare pentru a rezolva ecuația. Dacă nu există altul decâtbcoeficientul este divizibil cu 2, completați pătratul. Dacă niciuna dintre abordări nu este ușoară, utilizați formula ecuației pătratice.
Folosirea factorizării pentru a rezolva ecuația
Factorizarea exploatează faptul că partea dreaptă a ecuației pătratice standard este egală cu zero. Aceasta înseamnă că, dacă puteți împărți ecuația în doi termeni între paranteze înmulțite unul cu celălalt, puteți rezolva soluțiile gândindu-vă la ce ar face ca fiecare paranteză să fie egală cu zero. Pentru a da un exemplu concret:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
Comparați acest lucru cu formularul standard:
ax ^ 2 + bx + c = 0
În exemplu,A = 1, b= 6 șic= 9. Provocarea factorizării este găsirea a două numere care se adună împreună pentru a da numărul dinblocalizați și multiplicați împreună pentru a obține numărul în locul pentruc.
Deci, reprezentând numerele cudșie, căutați numere care să satisfacă:
d + e = b
Sau în acest caz, cub = 6:
d + e = 6
Și
d × e = c
Sau în acest caz, cuc = 9:
d × e = 9
Concentrați-vă pe găsirea numerelor care sunt factori dec, apoi adăugați-le împreună pentru a vedea dacă sunt egaleb. Când aveți numerele, puneți-le în următorul format:
(x + d) (x + e)
În exemplul de mai sus, ambeledșiesunt 3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Dacă înmulțiți parantezele, veți termina din nou cu expresia originală și aceasta este o bună practică pentru a vă verifica factorizarea. Puteți parcurge acest proces (înmulțind pe rând prima, interioară, exterioară și apoi ultima parte a parantezelor - consultați Resurse pentru mai multe detalii) pentru a o vedea invers:
\ begin {align} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ end {align}
Factorizarea parcurge în mod eficient acest proces invers, dar poate fi o provocare să rezolvați mod corect de a factoriza ecuația pătratică, iar această metodă nu este ideală pentru fiecare ecuație pătratică pentru aceasta motiv. De multe ori trebuie să ghiciți o factorizare și apoi să o verificați.
Problema face acum ca oricare dintre expresiile dintre paranteze să fie egală cu zero prin alegerea valorii pentruX. Dacă oricare dintre paranteze este egală cu zero, întreaga ecuație este egală cu zero și ați găsit o soluție. Uită-te la ultima etapă [(X + 3) (X+ 3) = 0] și veți vedea că singura dată când parantezele ies la zero este dacăX= −3. În majoritatea cazurilor, totuși, ecuațiile pătratice au două soluții.
Factorizarea este și mai provocatoare dacăAnu este egal cu unul, dar concentrarea pe cazuri simple este mai bună la început.
Finalizarea pătratului pentru a rezolva ecuația
Completarea pătratului vă ajută să rezolvați ecuații pătratice care nu pot fi ușor factorizate. Această metodă poate funcționa pentru orice ecuație pătratică, dar unele ecuații i se potrivesc mai mult decât altele. Abordarea implică transformarea expresiei într-un pătrat perfect și rezolvarea acestuia. Un pătrat perfect generic se extinde astfel:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
Pentru a rezolva o ecuație pătratică completând pătratul, obțineți expresia în forma din partea dreaptă a celor de mai sus. Mai întâi împărțiți numărul înbpoziția cu 2, și apoi pătrat rezultatul. Deci, pentru ecuație:
x ^ 2 + 8x = 0
Coeficientulb= 8, decib÷ 2 = 4 și (b ÷ 2)2 = 16.
Adăugați acest lucru pe ambele părți pentru a obține:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
Rețineți că acest formular se potrivește cu forma pătrată perfectă, cud= 4, deci 2d= 8 șid2 = 16. Aceasta înseamnă că:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
Introduceți acest lucru în ecuația anterioară pentru a obține:
(x + 4) ^ 2 = 16
Acum rezolvați ecuația pentruX. Luați rădăcina pătrată a ambelor părți pentru a obține:
x + 4 = \ sqrt {16}
Scădeți 4 din ambele părți pentru a obține:
x = \ sqrt {16} - 4
Rădăcina poate fi pozitivă sau negativă, iar luarea rădăcinii negative dă:
x = -4 - 4 = -8
Găsiți cealaltă soluție cu rădăcina pozitivă:
x = 4 - 4 = 0
Prin urmare, singura soluție diferită de zero este −8. Verificați acest lucru cu expresia originală pentru a confirma.
Folosind Formula Cadratică pentru a rezolva ecuația
Formula ecuației pătratice pare mai complicată decât celelalte metode, dar este cea mai fiabilă metodă și o puteți folosi pe orice ecuație pătratică. Ecuația folosește simbolurile din ecuația pătratică standard:
ax ^ 2 + bx + c = 0
Și afirmă că:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Introduceți numerele corespunzătoare în locurile lor și treceți prin formula de rezolvat, amintindu-vă să încercați atât scăderea, cât și adăugarea termenului rădăcină pătrată și notați ambele răspunsuri. Pentru următorul exemplu:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
AvețiA = 1, b= 6 șic= 5. Deci formula oferă:
\ begin {align} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {align}
Luarea semnului pozitiv dă:
\ begin {align} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {align}
Și luarea semnului negativ dă:
\ begin {align} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {align}
Care sunt cele două soluții pentru ecuație.
Cum se determină cea mai bună metodă de rezolvare a ecuațiilor pătratice
Căutați o factorizare înainte de a încerca orice altceva. Dacă puteți vedea una, aceasta este cea mai rapidă și mai ușoară modalitate de a rezolva o ecuație pătratică. Amintiți-vă că căutați două numere care să însumezebcoeficient și înmulțiți pentru a daccoeficient. Pentru această ecuație:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
Puteți observa că 2 + 3 = 5 și 2 × 3 = 6, deci:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
ȘiX= −2 sauX = −3.
Dacă nu vedeți o factorizare, verificați dacăbcoeficientul este divizibil cu 2 fără a recurge la fracții. Dacă este, completarea pătratului este probabil cea mai ușoară cale de a rezolva ecuația.
Dacă niciuna dintre abordări nu pare potrivită, utilizați formula. Aceasta pare a fi cea mai dificilă abordare, dar dacă sunteți într-un examen sau sunteți împins în timp, poate face procesul mult mai puțin stresant și mult mai rapid.
