Diferența dintre mecanica clasică și mecanica cuantică este uriașă. În timp ce în mecanica clasică particulele și obiectele au poziții clar definite, în mecanica cuantică (înainte de o măsurare) a se poate spune că particula are doar o gamă de poziții posibile, care sunt descrise în termeni de probabilități de către undă funcţie.
Ecuația Schrodinger definește funcția de undă a sistemelor mecanice cuantice, iar învățarea modului de utilizare și interpretare este o parte importantă a oricărui curs de mecanică cuantică. Unul dintre cele mai simple exemple de soluție la această ecuație este pentru o particulă dintr-o cutie.
Funcția Wave
În mecanica cuantică, o particulă este reprezentată de afuncția de undă. Aceasta este de obicei notată prin litera greacă psi (Ψ) și depinde atât de poziție, cât și de timp și conține tot ce se poate ști despre particulă.
Modulul acestei funcții pătrat vă arată probabilitatea ca particula să fie găsită în pozițieXla timpt, cu condiția ca funcția să fie „normalizată”. Acest lucru înseamnă doar ajustat astfel încât să fie sigur că se găsește la
nistepoziţieXla momentultcând rezultatele la fiecare locație sunt însumate, adică condiția de normalizare spune că:\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
Puteți utiliza funcția de undă pentru a calcula valoarea de așteptare pentru poziția unei particule la timpt, unde valoarea așteptării înseamnă doar valoarea medie pentru care ați obțineXdacă ați repetat măsurarea de un număr mare de ori. Desigur, acest lucru nu înseamnă că va fi rezultatul pe care l-ați obține pentru o anumită măsurare - adicăîn mod eficientaleatoriu, deși unele locații sunt de obicei mult mai probabil decât altele.
Există multe alte cantități pentru care puteți calcula valorile de așteptare, cum ar fi impulsul și valorile energetice, precum și multe alte „observabile”.
Ecuația Schrodinger
Ecuația Schrodinger este o ecuație diferențială care este utilizată pentru a găsi valoarea funcției de undă și a statelor proprii pentru energia particulelor. Ecuația poate fi derivată din conservarea energiei și expresiile pentru energia cinetică și potențială a unei particule. Cel mai simplu mod de a-l scrie este:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Dar aiciHreprezintăOperator hamiltonian, care în sine este o expresie destul de lungă:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + V (x)
Aici,meste masa, ℏ este constanta lui Planck împărțită la 2π șiV (X) este o funcție generală pentru energia potențială a sistemului. Hamiltonianul are două părți distincte - primul termen este energia cinetică a sistemului și al doilea termen este energia potențială.
Fiecare valoare observabilă în mecanica cuantică este asociată cu un operator, iar în versiunea independentă de timp a ecuației Schrodinger, Hamiltonianul este operatorul energetic. Cu toate acestea, în versiunea dependentă de timp prezentată mai sus, Hamiltonianul generează și evoluția în timp a funcției de undă.
Combinând toate informațiile conținute în ecuație, puteți descrie evoluția particulei în spațiu și timp și puteți prezice valorile de energie posibile și pentru aceasta.
Ecuația Schrodinger independentă de timp
Partea ecuației dependentă de timp poate fi eliminată - pentru a descrie o situație care nu evoluează în mod special cu timpul - prin separarea funcției de undă în spațiu și părți de timp:Ψ(X, t) = Ψ(X) f(t). Părțile dependente de timp pot fi apoi anulate din ecuație, ceea ce lasă versiunea independentă de timp a ecuației Schrodinger:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
Eeste energia sistemului. Aceasta are forma exactă a unei ecuații a valorii proprii, cuΨ(X) fiind funcția proprie șiEfiind valoarea proprie, motiv pentru care ecuația independentă de timp este deseori numită ecuația valorii proprii pentru energia unui sistem mecanic cuantic. Funcția de timp este dată pur și simplu de:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
Ecuația independentă de timp este utilă deoarece simplifică calculele pentru multe situații în care evoluția timpului nu este deosebit de crucială. Aceasta este cea mai utilă formă pentru probleme de „particule într-o cutie” și chiar pentru determinarea nivelurilor de energie pentru electroni în jurul unui atom.
Particulă într-o cutie (puț pătrat infinit)
Una dintre cele mai simple soluții la ecuația Schrodinger independentă de timp este pentru o particulă dintr-un puț pătrat infinit de adânc (adică un puț potențial infinit) sau o cutie unidimensională de bază lungimeL. Desigur, acestea sunt idealizări teoretice, dar oferă o idee de bază despre modul în care rezolvați ecuația Schrodinger fără a ține cont de multe dintre complicațiile care există în natură.
Cu energia potențială setată la 0 în afara puțului, unde densitatea probabilității este de asemenea 0, ecuația Schrodinger pentru această situație devine:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
Iar soluția generală pentru o ecuație de această formă este:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
Cu toate acestea, examinarea condițiilor la graniță poate ajuta la restrângerea acestui lucru. PentruX= 0 șiX= L, adică laturile cutiei sau pereții puțului, funcția de undă trebuie să meargă la zero. Funcția cosinus are o valoare de 1 atunci când argumentul este 0, deci pentru a fi îndeplinite condițiile la graniță, constantaBtrebuie să fie egal cu zero. Aceasta lasă:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
De asemenea, puteți utiliza condițiile la graniță pentru a seta o valoare pentruk. Deoarece funcția de păcat merge la zero la valorinπ, unde numărul cuanticn= 0, 1, 2, 3... și așa mai departe, asta înseamnă cândX = L, ecuația va funcționa numai dacăk = nπ / L. În cele din urmă, puteți utiliza faptul că funcția de undă trebuie normalizată pentru a găsi valoarea luiA(se integrează în toate posibileleXvalori, adică de la 0 laL, și apoi setați rezultatul egal cu 1 și rearanjați), pentru a ajunge la expresia finală:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Folosind ecuația originală și acest rezultat, puteți apoi rezolva pentruE, care produce:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}
Rețineți că faptul căneste în această expresie înseamnă că nivelurile de energie suntcuantificat, deci nu pot luaoricevaloare, dar numai un set discret de valori specifice nivelului de energie, în funcție de masa particulei și de lungimea cutiei.
Particulă într-o cutie (fântână pătrată finită)
Aceeași problemă devine puțin mai complicată dacă fântâna potențială are o înălțime finită a peretelui. De exemplu, dacă potențialulV (X) ia valoareaV0 în afara puțului potențial și 0 în interiorul acestuia, funcția de undă poate fi determinată în cele trei regiuni principale acoperite de problemă. Acesta este un proces mai implicat, totuși, deci aici veți putea vedea doar rezultatele, mai degrabă decât să parcurgeți întregul proces.
Dacă fântâna este laX= 0 laX = Ldin nou, pentru regiunea undeX<0 soluția este:
Ψ (x) = Be ^ {kx}
Pentru regiuneX > L, este:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Unde
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
Pentru regiunea din interiorul puțului, unde 0 <X < L, soluția generală este:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
Unde
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Puteți utiliza apoi condițiile limită pentru a determina valorile constantelorA, B, CșiD, observând că, pe lângă faptul că are valori definite la pereții puțului, funcția de undă și prima sa derivată trebuie să fie continue peste tot, iar funcția de undă trebuie să fie finită peste tot.
În alte cazuri, cum ar fi cutii superficiale, cutii înguste și multe alte situații specifice, există aproximări și soluții diferite pe care le puteți găsi.