Integrarea funcțiilor este una dintre aplicațiile de bază ale calculului. Uneori, acest lucru este simplu, ca în:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
Într-un exemplu relativ complicat de acest tip, puteți utiliza o versiune a formulei de bază pentru integrarea integralelor nedeterminate:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
UndeAșiCsunt constante.
Astfel, pentru acest exemplu,
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Integrarea funcțiilor de bază ale rădăcinii pătrate
La suprafață, integrarea unei funcții de rădăcină pătrată este incomodă. De exemplu, puteți fi împiedicat de:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Dar puteți exprima o rădăcină pătrată ca exponent, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Integrala devine deci:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
căruia îi puteți aplica formula obișnuită de mai sus:
\ begin {align} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {align}
Integrarea funcțiilor mai complexe ale rădăcinii pătrate
Uneori, este posibil să aveți mai mult de un termen sub semnul radical, ca în acest exemplu:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Poți să foloseștitu-substituție pentru a continua. Aici, ai stabilittuegală cu cantitatea din numitor:
u = \ sqrt {x - 3}
Rezolvați acest lucru pentruXprin pătrarea ambelor părți și scăderea:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
Acest lucru vă permite să obțineți dx în termeni detuprin luarea derivatului deX:
dx = (2u) du
Înlocuirea din nou în integralul original dă
\ begin {align} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {align}
Acum puteți integra acest lucru folosind formula de bază și exprimândtuîn ceea ce priveșteX:
\ begin {align} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ end {align}