Trigonometria se poate simți ca un subiect destul de abstract. Termeni arcani precum „păcat” și „cos” nu par să corespundă nimic din realitate și este greu să-i înțelegi ca concepte. Cercul unitar ajută substanțial la acest lucru, oferind o explicație simplă a numerelor pe care le obțineți atunci când luați sinusul, cosinusul sau tangenta unui unghi. Pentru oricare dintre studenții științei sau matematicii, înțelegerea cercului unitar poate întări cu adevărat înțelegerea dvs. despre trigonometrie și modul de utilizare a funcțiilor.
TL; DR (Prea lung; Nu am citit)
Un cerc de unitate are o rază de unu. Imaginați-vă unX ysistem de coordonate începând de la centrul acestui cerc. Unghiurile punctului sunt măsurate de undeX= 1 șiy= 0, în partea dreaptă a cercului. Unghiurile cresc pe măsură ce vă deplasați în sens invers acelor de ceasornic.
Folosind acest cadru șiypentruy-coordonat șiXpentruX-coordonata punctului de pe cerc:
păcatθ = y
cosθ = X
Si in consecinta:
bronzatθ = y / X
Ce este cercul de unitate?
Un cerc de „unitate” are o rază de 1. Cu alte cuvinte, distanța de la centrul cercului la orice parte a marginii este întotdeauna 1. Unitatea de măsură nu contează cu adevărat, deoarece cel mai important lucru despre cercul unității este că face multe ecuații și calcule mult mai simple.
De asemenea, servește ca bază utilă pentru a privi definițiile unghiurilor. Imaginați-vă că centrul cercului se află în centrul unui sistem de coordonate cu unX-axia rulează orizontal și ay-axia rulează vertical. Cercul traverseazăX-axa laX = 1, y= 0. Oamenii de știință și matematicienii definesc unghiul din acel punct care se deplasează în sens invers acelor de ceasornic. Deci ideeaX =1, y= 0 pe cerc este la un unghi de 0 °.
Definițiile păcatului și cosului cu cercul de unitate
Definițiile obișnuite ale sin, cos și tan date elevilor se referă la triunghiuri. Ei afirmă:
\ sin θ = \ frac {\ text {opus}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {adjacent}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
„Opusul” se referă la lungimea laturii triunghiului opus unghiului, „adiacent” se referă la lungimea laturii de lângă unghi și „hipotenuză” se referă la lungimea laturii diagonale a triunghi.
Imaginați-vă că creați un triunghi astfel încât hipotenuza să fie întotdeauna raza cercului unitar, cu un colț la marginea cercului și unul în centrul acestuia. Aceasta înseamnă că hipotenuza = 1 în ecuațiile de mai sus, astfel încât primele două devin:
\ sin θ = \ frac {\ text {oppos}} {1} = \ text {opus} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {adjacent}} {1} = \ text {adjacent} \\
Dacă faceți unghiul în cauză cel din centrul cercului, opusul este doary-coordonat și adiacent este doarX-coordonata punctului de pe cercul care atinge triunghiul. Cu alte cuvinte, păcatul returneazăy-coordonează pe cercul unității (folosind coordonate care încep de la centru) pentru un unghi dat și cos returneazăX-coordona. Acesta este motivul pentru care cos (0) = 1 și sin (0) = 0, deoarece în acest moment acestea sunt coordonatele. La fel, cos (90) = 0 și sin (90) = 1, deoarece acesta este punctul cuX= 0 șiy= 1. În formă de ecuație:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Unghiurile negative sunt, de asemenea, ușor de înțeles pe baza acestui fapt. Unghiurile negative (măsurate în sensul acelor de ceasornic de la punctul de plecare) au același lucruXcoordonați ca unghiul pozitiv corespunzător, deci:
\ cos -θ = \ cos θ
Însăy-comutatoare coordonate, ceea ce înseamnă că
\ sin -θ = - \ sin θ
Definiția bronzului cu cercul unității
Definiția bronzului dată mai sus este:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Dar cu definițiile cercului unitar ale păcatului și cosului, puteți vedea că acest lucru este echivalent cu:
\ tan θ = \ frac {\ text {opus}} {\ text {adjacent}}
Sau, gândind în termeni de coordonate:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
Aceasta explică de ce bronzul este nedefinit pentru 90 ° sau −270 ° și 270 ° sau −90 ° (undeX= 0), deoarece nu puteți împărți la zero.
Graficarea funcțiilor trigonometrice
Graficarea păcatului sau cos devine mai ușoară atunci când vă gândiți la cercul unitar.X-coordonata variază ușor pe măsură ce vă deplasați în jurul cercului, începând de la 1 și scăzând la minimum -1 la 180 °, apoi crescând în același mod. Funcția de păcat face același lucru, dar crește la o valoare maximă de 1 la 90 ° mai întâi, înainte de a urma același model. Se spune că cele două funcții sunt de 90 ° în afara „fazei” între ele.
Graficarea bronzului necesită împărțireaydeX, și așa este mai complicat de graficat și are și puncte în care este nedefinit.