Majoritatea oamenilor își amintesc deTeorema lui Pitagorade la geometria începătorului - este un clasic. este
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
UndeA, bșicsunt laturile unui triunghi dreptunghiular (ceste hipotenuza). Ei bine, această teoremă poate fi rescrisă și pentru trigonometrie!
TL; DR (Prea lung; Nu am citit)
TL; DR (Prea lung; Nu am citit)
Identitățile pitagoreice sunt ecuații care scriu teorema pitagoreică în funcție de funcțiile trig.
PrincipalulIdentități pitagoreicesunteți:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ cot ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Identitățile pitagoreice sunt exemple deidentități trigonometrice: egalități (ecuații) care utilizează funcții trigonometrice.
De ce conteaza?
Identitățile pitagoreice pot fi foarte utile pentru simplificarea declarațiilor și ecuațiilor complicate ale trig. Memorați-le acum și vă puteți economisi mult timp pe drum!
Dovadă folosind definițiile funcțiilor trig
Aceste identități sunt destul de simple de demonstrat dacă vă gândiți la definițiile funcțiilor trig. De exemplu, să dovedim asta
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Amintiți-vă că definiția sinusului este partea opusă / hipotenuză și că cosinusul este partea adiacentă / hipotenuză.
Asa de
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {opus} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Și
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {adjacent} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Puteți adăuga cu ușurință aceste două împreună, deoarece numitorii sunt aceiași.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {opus} ^ 2 + \ text {adjacent} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Acum aruncă o altă privire asupra teoremei lui Pitagora. Spune astaA2 + b2 = c2. Ține minte căAșibstați pentru laturile opuse și adiacente șicreprezintă hipotenuza.
Puteți rearanja ecuația împărțind ambele părți lac2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
De candA2 șib2 sunt laturile opuse și adiacente șic2 este ipotenuza, aveți o afirmație echivalentă cu cea de mai sus, cu (opus2 + adiacent2) / hipotenuză2. Și datorită muncii cuA, b, cși teorema lui Pitagora, acum puteți vedea că această afirmație este egală cu 1!
Asa de
\ frac {\ text {opus} ^ 2 + \ text {adjacent} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2} = 1
prin urmare:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(Și este mai bine să o scrieți corect: păcatul2(θ) + cos2(θ) = 1).
Identitățile reciproce
Să petrecem câteva minute uitându-ne laidentități reciprocede asemenea. Amintiți-vă căreciproceste unul împărțit la („peste”) numărul dvs. - cunoscut și ca invers.
Deoarece cosecanta este reciprocă a sinusului:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
De asemenea, vă puteți gândi la cosecant folosind definiția sinusului. De exemplu, sinus = latură opusă / hipotenuză. Inversul acestuia va fi fracțiunea răsturnată cu capul în jos, care este hipotenuză / partea opusă.
În mod similar, reciprocul cosinusului este secant, deci este definit ca
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {sau} \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {side adjacent}}
Și reciprocitatea tangentei este cotangentă, deci
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {partea adiacentă}} {\ text {partea opusă}}
Dovezile pentru identitățile pitagoreice care utilizează secant și cosecant sunt foarte similare cu cea pentru sinus și cosinus. De asemenea, puteți deriva ecuațiile folosind ecuația „părinte”, sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Împărțiți ambele părți la cos2(θ) pentru a obține identitatea 1 + tan2(θ) = sec2(θ). Împărțiți ambele părți prin păcat2(θ) pentru a obține identitatea 1 + pat2(θ) = csc2(θ).
Noroc și nu uitați să memorați cele trei identități pitagoreice!