Găsirea celui mai mare factor comun sau GCF din două numere este utilă în multe situații din matematică, dar mai ales atunci când vine vorba de simplificarea fracțiilor. Dacă vă confruntați cu acest lucru sau găsiți numitori comuni, învățarea a două metode pentru a găsi factori comuni vă va ajuta să realizați ceea ce vă propuneți. În primul rând, totuși, este o idee bună să aflați despre elementele de bază ale factorilor; apoi, puteți analiza două abordări pentru a găsi factori comuni. În cele din urmă, puteți vedea cum să vă aplicați cunoștințele pentru a simplifica o fracțiune.
Ce este un factor?
Factorii sunt numerele pe care le înmulțiți împreună pentru a produce un alt număr. De exemplu, 2 și 3 sunt factori de 6, deoarece 2 × 3 = 6. În mod similar, 3 și 3 sunt factori de 9, deoarece 3 × 3 = 9. După cum știți, numerele prime sunt numere care nu au alți factori decât ei înșiși și 1. Deci 3 este un număr prim, deoarece singurele două numere întregi (întregi) care se pot înmulți împreună pentru a da 3 ca răspuns sunt 3 și 1. În același mod, 7 este un număr prim, la fel și 13.
Din această cauză, este adesea util să împărțiți un număr în „factori primi”. Aceasta înseamnă găsirea tuturor factorilor de număr prim ai unui alt număr. Practic, descompune numărul în „blocurile sale” fundamentale, ceea ce reprezintă un pas util către găsirea celui mai mare factor comun din două numere și este, de asemenea, de neprețuit atunci când vine vorba de simplificarea pătratului rădăcini.
Găsirea celui mai mare factor comun: prima metodă
Cea mai simplă metodă pentru a găsi cel mai mare factor comun al a două numere este să enumerăm pur și simplu toți factorii fiecărui număr și să căutăm cel mai mare număr pe care îl împart ambii. Imaginați-vă că doriți să găsiți cel mai mare factor comun de 45 și 60. Mai întâi, uitați-vă la diferitele numere pe care le puteți înmulți împreună pentru a produce 45.
Cel mai simplu mod de a începe este cu cei doi despre care știți că vor funcționa, chiar și pentru un număr prim. În acest caz, știm 1 × 45 = 45, deci știm că 1 și 45 sunt factori de 45. Aceștia sunt primii și ultimii factori de 45, astfel încât să puteți completa doar de acolo. Apoi, aflați dacă 2 este un factor. Acest lucru este ușor, deoarece orice număr par va fi divizibil cu 2, iar orice număr impar nu. Deci știm că 2 nu este un factor de 45. Dar 3? Ar trebui să poți observa că 3 este un factor de 45, deoarece 3 × 15 = 45 (poți oricând să construiești pe ceea ce faci tu știți să rezolvați acest lucru, de exemplu, veți ști că 3 × 12 = 36 și adăugarea a trei la acest lucru vă conduce 45).
În continuare, este 4 un factor de 45? Nu - știi 11 × 4 = 44, deci nu poate fi! Apoi, ce zici de 5? Acesta este altul ușor, deoarece orice număr care se termină cu 0 sau 5 este divizibil cu 5. Și cu aceasta, puteți observa cu ușurință acel 5 × 9 = 45. Dar 6 nu este bun pentru că 7 × 6 = 42 și 8 × 6 = 48. Din aceasta puteți vedea, de asemenea, că 7 și 8 nu sunt factori de 45. Știm deja că 9 este și este ușor de observat că 10 și 11 nu sunt factori. Continuați acest proces și veți observa că 15 este un factor, dar nimic altceva nu este.
Deci factorii 45 sunt: 1, 3, 5, 9, 15 și 45.
Pentru 60 de ani, parcurgeți exact același proces. De data aceasta numărul este par (deci știți că 2 este un factor) și divizibil cu 10 (deci 5 și 10 sunt ambii factori), ceea ce ușurează lucrurile. După ce parcurgeți procesul din nou, ar trebui să vedeți că factorii de 60 sunt: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 și 60.
Compararea celor două liste arată că 15 este cel mai mare factor comun de 45 și 60. Această metodă poate consuma mult timp, dar este simplă și va funcționa întotdeauna. De asemenea, puteți începe de la orice factor comun ridicat pe care îl puteți observa imediat și apoi pur și simplu căutați factori mai mari pentru fiecare număr.
Găsirea celui mai mare factor comun: metoda a doua
A doua metodă de a găsi GCF pentru două numere este de a utiliza factori primi. Procesul de factorizare primă este puțin mai ușor și mai structurat decât găsirea fiecărui factor. Să parcurgem procesul pentru 42 și 63.
Procesul de descompunere în factori primi implică practic descompunerea numărului până când rămâneți doar cu numere prime. Cel mai bine este să începeți cu cel mai mic prim (doi) și să lucrați de acolo. Deci, pentru 42, este ușor de văzut că 2 × 21 = 42. Apoi lucrați de la 21: Este 2 un factor? Nu. Este 3? Da! 3 × 7 = 21, iar 3 și 7 sunt ambele numere prime. Acest lucru înseamnă că factorii primi ai 42 sunt 2, 3 și 7. Prima „pauză” a folosit 2 pentru a ajunge la 21, iar a doua a descompus acest lucru în 3 și 7. Puteți verifica acest lucru înmulțind toți factorii împreună și verificând că obțineți numărul original: 2 × 3 × 7 = 42.
Pentru 63, 2 nu este un factor, dar 3 este, deoarece 3 × 21 = 63. Din nou, 21 se descompune în 3 și 7 - ambii primi - astfel încât să știți factorii primi! Verificarea arată că 3 × 3 × 7 = 63, după cum este necesar.
Găsiți cel mai mare factor comun uitându-vă la ce factori primi au cele două numere în comun. În acest caz, 42 are 2, 3 și 7, iar 63 are 3, 3 și 7. Au 3 și 7 în comun. Pentru a găsi cel mai mare factor comun, înmulțiți toți factorii primi comuni împreună. În acest caz, 3 × 7 = 21, deci 21 este cel mai mare factor comun de 42 și 63.
Exemplul anterior poate fi rezolvat mai rapid și în acest fel. Deoarece 45 este divizibil cu trei (3 × 15 = 45), iar 15 este de asemenea divizibil cu trei (3 × 5 = 15), factorii primi ai 45 sunt 3, 3 și 5. Pentru 60, este divizibil cu doi (2 × 30 = 60), 30 este divizibil și cu doi (2 × 15 = 30) și apoi rămâneți cu 15, care știm că are trei și cinci ca factori primi, lăsând 2, 2, 3 și 5. Comparând cele două liste, trei și cinci sunt factorii primi comuni, deci cel mai mare factor comun este 3 × 5 = 15.
În cazul în care există trei sau mai mulți factori primi comuni, îi înmulțiți pe toți împreună în același mod pentru a găsi cel mai mare factor comun.
Simplificarea fracțiilor cu factori comuni
Dacă vi se prezintă o fracție precum 32/96, poate face orice calcule care vin după ea foarte complicat, cu excepția cazului în care puteți găsi o modalitate de simplificare a fracției. Găsirea celui mai mic factor comun al 32 și 96 vă va spune numărul pentru a împărți ambele la, pentru a obține o fracție mai simplă. În acest caz:
32 = 2 × 16 \\ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \\ \ text {Deci} 32 = 2 ^ 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Pentru 96, procesul oferă:
96 = 48 × 2 \\ 48 = 24 × 2 \\ 24 = 12 × 2 \\ 12 = 6 × 2 \\ 6 = 3 × 2 \\ \ text {Deci} 96 = 2 ^ 5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Ar trebui să fie clar că 25 = 32 este cel mai mare factor comun. Împărțirea ambelor părți ale fracției cu 32 dă:
\ frac {32} {96} = \ frac {1} {3}
Găsirea numitorilor comuni este un proces similar. Imaginați-vă că a trebuit să adăugați fracțiile 15/45 și 40/60. Știm din primul exemplu că 15 este cel mai mare factor comun de 45 și 60, deci le putem exprima imediat ca 15/15 și 10/15. Deoarece 3 × 5 = 15 și ambii numeratori sunt, de asemenea, divizibili cu cinci, putem împărți ambele părți ale ambelor fracții la cinci pentru a obține 1/3 și 2/3. Acum sunt mult mai ușor de adăugat și de văzut asta
\ frac {15} {45} + \ frac {40} {60} = 1