Legea sinusurilor și legea cosinusului sunt formule trigonometrice care leagă măsurile unghiurilor unui triunghi de lungimile laturilor sale. Acestea sunt derivate din proprietatea că unghiurile mai mari din triunghiuri au părți opuse proporțional mai mari. Folosiți legea sinusurilor sau legea cosinusului pentru a calcula lungimile laturilor unui triunghi și a unui patrulater (a patrulaterul este în esență două triunghiuri adiacente) dacă știți măsura unei laturi, a unui unghi și a unei laturi suplimentare sau unghi.
Găsiți datele triunghiului. Datele sunt lungimi de laturi și măsuri de unghiuri care sunt deja cunoscute. Nu puteți găsi măsura lungimilor laterale ale unui triunghi decât dacă știți măsura unui unghi, a unei părți și a unei alte părți sau a unui alt unghi.
Utilizați datele pentru a determina dacă triunghiul este un triunghi ASA, AAS, SAS sau ASS. Un triunghi ASA are două unghiuri ca date, precum și latura care leagă cele două unghiuri. Un triunghi AAS are două unghiuri și o latură diferită ca date. Un triunghi SAS are două laturi ca date, precum și unghiul format de cele două laturi. Un triunghi ASS are două laturi și un unghi diferit ca date.
Folosiți legea sinusurilor pentru a stabili o ecuație care să raporteze lungimile laturilor dacă este un triunghi ASA, AAS sau ASS. Legea sinusurilor afirmă că raporturile sinelor unghiurilor unui triunghi și ale laturilor opuse ale acestora sunt egale:
\ sin \ bigg (\ frac {A} {a} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {B} {b} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {C} {c} \ bigg)
UndeA, bșicsunt lungimile laterale opuse ale unghiurilorA, BșiC, respectiv.
De exemplu, dacă știți că două unghiuri sunt de 40 de grade și 60 de grade, iar latura care le unește avea 3 unități lungime, ați seta ecuația:
\ sin \ bigg (\ frac {80} {3} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {40} {b} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {60} {c} \ bigg)
Știți că unghiul opus laturii care are o lungime de 3 unități este de 80 de grade, deoarece suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade.
Folosiți legea cosinusului pentru a seta o ecuație care să raporteze lungimile laturilor dacă este un triunghi SAS. Legea cosinusului afirmă că:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ cos C
Cu alte cuvinte, pătratul lungimii laturii c este egal cu pătratele celorlalte două lungimi laterale minus produsul celor două laturi și cosinusul unghiului opus laturii necunoscute. De exemplu, dacă cele două laturi ar fi 3 unități și 4 unități și unghiul ar fi de 60 de grade, ați scrie ecuația
c ^ 2 = 3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 34 × \ cos 60
Rezolvați pentru variabilele din ecuații pentru a găsi lungimile triunghiului necunoscut. Rezolvarea pentrubîn ecuație
\ sin \ bigg (\ frac {80} {3} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {40} {b} \ bigg)
produce valoarea
b = 3 × \ frac {\ sin (40)} {\ sin (80)}
asa debeste aproximativ 2. Rezolvarea pentrucîn ecuație
\ sin \ bigg (\ frac {80} {3} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {60} {c} \ bigg)
produce valoarea
c = 3 × \ frac {\ sin (60)} {\ sin (80)}
asa deceste de aproximativ 2,6. În mod similar, rezolvarea pentrucîn ecuație
c ^ 2 = 3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 34 × \ cos (60)
produce valoarea
c ^ 2 = 25 - 6 \ text {sau} c ^ 2 = 19
asa deceste de aproximativ 4,4.